Droite associée à une fonction affine

I. Définitions

Soit $f$ une fonction affine, définie par $f(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

Remarque : Si le nombre $b=0$ on parle alors de fonction linéaire.

Ainsi la fonction définie par $f(x)=3x$ est linéaire. En revanche, la fonction définie par $f(x)=2x^2-3$ n'est ni linéaire, ni affine.

Définition : Soit $f$ une fonction affine définie pour tous réels $x$ par $f(x)=ax+b$. Le nombre $a$ est appelé coefficient directeur de la fonction et $b$ l'ordonnée à l'origine.

Le coefficient directeur indique « la vitesse » à laquelle la fonction progresse verticalement et l'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point d'intersection de la courbe représentant la fonction et l'axe des ordonnées.

II. Lectures de $a$ et $b$ sur la représentation graphique

$1.$ $f(0)=2\times 0+1$ donc $f(0)=1$. La courbe passe par le point de coordonnées $(0; 1)$.

La valeur $1$ s'appelle l'ordonnée à l'origine.

L'ordonnée à l'origine est donc l'ordonnée du point d'intersection entre la droite représentative de $f$ et l'axe des ordonnées.

$2.$ $f(3)=2\times 3+1=7$ donc la droite passe par le point de coordonnées $(3;7)$.

$f(4)=2\times 4+1=9$ donc la droite passe par le point de coordonnées $(4;9)$.

Quand la variable $x$ passe de $3$ à $4$, la variable augmente de $4-3=1$.

Simultanément, $f(x)$ passe de $f(3)=7$ à $f(4)=9$ et les ordonnées augmentent de $9-7=2$ (voir dessin) ; la valeur $2$ étant le coefficient directeur.

Lecture du coefficient directeur de $f$.

On peut donc lire sur le graphique la valeur du coefficient directeur de la fonction affine $f$ en prenant deux points de la droite dont les abscisses diffèrent de $1$.

La valeur du coefficient directeur permet également de savoir si la droite "monte" ou "descend".

Remarque : On sait que pour $a=0$, la fonction est constante et que sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

III. Déterminer une fonction affine connaissant deux points de sa représentation graphique

Propriété : On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$. Alors, pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ distincts, on a : $a=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$

Exemple :

On considère la fonction affine $f$ telle que $f(1)=2$ et $f(3)=-4$. On veut déterminer l'expression algébrique de cette fonction.

L'expression algébrique de cette fonction est de la forme $f(x)=ax+b$.

D'après la propriété ci-dessus, on a :
$a=\dfrac{2-(-4)}{1-3}=\dfrac{6}{-2}=-3$

Ainsi, $\boxed{f(x)=-3x+b}$.
On sait que $f(1)=2$. Mais on a également $f(1)=-3\times1+b=-3+b$.
Par conséquent, $-3+b=2$ d'où $b=5$.

Finalement, une expression algébrique de $f$ est $\boxed{f(x)=-3x+5}$.

On peut vérifier la valeur de $f(3)$.
$f(3)=-3\times3+5=−9+5=−4$ ce qui correspond bien à l'énoncé.