Division de polynômes dans C

I. Polynôme de degré $n$

Soit $n \in \mathbb{N}$. Un polynôme $P$ de degré $n$ à coefficients réels est une expression s’écrivant sous la forme :

$P(z) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0, \quad (a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}, \quad a_n \neq 0$

On admet que si une fonction polynôme est nulle, tous ses coefficients sont nuls.

II. Division euclidienne de polynômes

Définition :

D’une manière générale, diviser un polynôme $P_1$ de degré $n$ par un autre polynôme $P_2$ de degré $p$ avec $n \geq p$, c’est trouver deux autres polynômes : l’un appelé $Q$ ou quotient et l’autre appelé reste ou $R$, tel que l’on ait l’identité :

$P_1 = P_2 \cdot Q + R$

Si $Q$ et $R$ existent, ils sont uniques.

Exemple : Division suivant les puissances décroissantes ou division euclidienne :

• Le dividende : $P_1 = x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 10x + 14$.

• Le diviseur : $P_2 = x^2 + 3$.

Le degré de $P_1$ est supérieur au degré de $P_2$ ($\deg P_1 \gt \deg P_2$), donc la division peut se faire selon les puissances décroissantes.

Pour réaliser la division euclidienne, il suffit de disposer le dividende et le diviseur comme dans une division arithmétique.

Division euclidienne de $P_1 = x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 10x + 14$ par $P_2 = x^2 + 3$

On cherche à écrire :
$P_1 = P_2 \times Q + R$
avec $Q$ le quotient et $R$ le reste.

III. Les étapes détaillées

Étape 1 :
On divise le terme de plus haut degré du dividende $x^4$ par le terme de plus haut degré du diviseur $x^2$ :
$x^4 \div x^2 = x^2$.

On multiplie $P_2$ par $x^2$ et on soustrait à $P_1$ :
$(x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 10x + 14) - (x^4 + 3x^2)$
$= 3x^3 + 4x^2 + 10x + 14$

Étape 2 :
On divise le terme de plus haut degré $3x^3$ par $x^2$ :
$3x^3 \div x^2 = 3x$.

On multiplie $P_2$ par $3x$ et on soustrait :
$(3x^3 + 4x^2 + 10x + 14) - (3x^3 + 9x)$
$= 4x^2 + x + 14$

Étape 3 :
On divise $4x^2$ par $x^2$ :
$4x^2 \div x^2 = 4$.

On multiplie $P_2$ par $4$ et on soustrait :
$(4x^2 + x + 14) - (4x^2 + 12)$
$= x + 2$

Le degré du reste $R = x + 2$ est strictement inférieur au degré du diviseur, donc l'algorithme s'arrête.

Conclusion :
On a trouvé : $Q = x^2 + 3x + 4$
$R = x + 2$

La division s'écrit donc :
$x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 10x + 14 = (x^2 + 3)(x^2 + 3x + 4) + (x + 2)$