Divisibilité dans Z

Généralités

Définition

L’arithmétique est l’étude des entiers naturels ou relatifs et de leur rapport.

$\mathbb{N}$ est l’ensemble des entiers naturels : $0, 1, 2, 3, \dots$

$\mathbb{Z}$ est l’ensemble des entiers relatifs : $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

I. Propriétés : Axiomes dans $\mathbb{N}$

$\circ\quad$ Principe du bon ordre : toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un plus petit élément.

$\circ\quad$ Principe de la descente infinie : toute suite strictement décroissante dans $\mathbb{N}$ est finie.

$\circ\quad$ Principe des tiroirs : si l’on range $(n + 1)$ chaussettes dans $n$ tiroirs, alors un tiroir contiendra au moins deux chaussettes.

Exemple :

Dans la division par 7 d’un entier non multiple de 7, les restes possibles sont : $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

On est alors sûr qu’à partir de la 7ème division, donnant la 7ème décimale, on obtiendra un reste déjà obtenu (principe des tiroirs).

Par exemple, la partie décimale de $\dfrac{22}{7} = 3,142857142857\dots$ est périodique.

II. Divisibilité dans $\mathbb{Z}$

Définition

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.

On dit que $b$ divise $a$, noté $b \mid a$, si et seulement s'il existe un entier relatif $k$ tel que :

$a = k \times b$.

Remarque

Autres formulations :

$\circ\quad$ "$b$ est un diviseur de $a$"

$\circ\quad$ "$a$ est divisible par $b$"

$\circ\quad$ "$a$ est un multiple de $b$"

Exemples

$\circ\quad$ $15 = 3 \times 5$ donc 3 et 5 sont des diviseurs de 15.
Les diviseurs dans $\mathbb{N}$ de 15 sont : $1, 3, 5, 15$.

$\circ\quad$ $-45 = (-5) \times 9$ donc $-5$ et $9$ sont des diviseurs de $-45$.
Les diviseurs de $-45$ dans $\mathbb{Z}$ sont :

$-45, -15, -9, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 9, 15, 45$.

Critères de divisibilité (à démontrer en exercice)

Pour qu'un nombre entier soit divisible par :

$\circ\quad$ $2$, il faut et il suffit que le chiffre des unités soit 0, 2, 4, 6 ou 8.

$\circ\quad$$10^n$ , il faut et il suffit que ce nombre se termine par n zéros.

$\circ\quad$ $4$ ou $25$, il faut et il suffit que le nombre formé par les deux derniers chiffres soit divisible par 4 ou 25.

$\circ\quad$ $8$ ou $125$, il faut et il suffit que le nombre formé par les trois derniers chiffres soit divisible par 8 ou 125.

$\circ\quad$ $3$ ou $9$, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 3 ou 9.

$\circ\quad$ $5$, il faut et il suffit que ce nombre se termine par 0 ou 5.

$\circ\quad$ $11$, il faut et il suffit que la différence entre la somme des chiffres de rang pair et celle de rang impair soit un multiple de 11.

Propriétés

$\checkmark$ $a$ et $-a$ divisent $a$, $1$ et $-1$ divisent $a$, et $a$ divise $0$.

$\checkmark$Si $b$ divise $a$, alors $b$ divise $-a$ et $-b$ divise $a$.

$\checkmark$ Soit $a \neq 0$, si $b$ divise $a$, alors $|b| \leq |a|$.

$\checkmark$ Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$, alors $a = b$ ou $a = -b$.

$\checkmark$ Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$, alors $a$ divise $c$.

$\checkmark$ Si $b$ divise $a$, alors pour tout $c \neq 0$, $bc$ divise $ac$.

Démonstrations

$1.$ $a = a \times 0$ et $a = 1 \times a$ et $-a = a \times (-1)$.

$2.$ Si $b$ divise $a$, alors : $\exists q \in \mathbb{Z}, a = bq$

$\Leftrightarrow \exists q \in \mathbb{Z}, -a = b(-q)$

$\Leftrightarrow \exists q \in \mathbb{Z}, a = (-b)(-q)$

Donc $b \mid a \Rightarrow -b \mid a$ et $b \mid -a$.

$3.$ Soit $a \neq 0$, si $b$ divise $a$, alors : $\exists q \in \mathbb{Z}, a = bq$.

Or, $a \neq 0$ et $q \neq 0$ donc $|q| \geq 1$.

Ainsi, $|a| = |b| \times |q| \geq |b|$, d'où $|b| \leq |a|$.

$4.$ Si $b$ divise $a$, alors d’après (3.), $|b| \leq |a|$.

Si $a$ divise $b$, alors d’après (3.), $|a| \leq |b|$.

On a donc $|a| = |b|$, ce qui implique que $a = b$ ou $a = -b$.

$5.$ Si $a$ divise $b$, alors : $\exists q \in \mathbb{Z}, b = aq$.

Si $b$ divise $c$, alors : $\exists q' \in \mathbb{Z}, c = bq' = a(qq') = a q_1$, avec $q_1 = qq' \in \mathbb{Z}$.

Donc $a \mid c$.

$6.$ Si $b$ divise $a$, alors : $\exists q \in \mathbb{Z}, a = bq$.

Donc : $a c = (bq)c = b (qc)$, avec $qc \in \mathbb{Z}$.

Donc $bc \mid ac$.

Théorème : Combinaisons linéaires et divisibilité

Soient $a, b$ et $c$ trois entiers relatifs.

Si $a$ divise $b$ et $c$, alors $a$ divise toute combinaison linéaire de $b$ et $c$, soit :

$\alpha b + \beta c$, avec $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$.

Démonstration :

Si $a$ divise $b$ et $c$, il existe $q, q' \in \mathbb{Z}$ tels que : $b = q a$ et $c = q' a$.

Donc, pour tous $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ : $\alpha b + \beta c = \alpha q a + \beta q' a = (\alpha q + \beta q') a$.

Or, $\alpha q + \beta q' \in \mathbb{Z}$, donc $a$ divise $\alpha b + \beta c$.

Exemple

Soit $k$ un entier naturel. On pose : $a = 9k + 2$ et $b = 12k + 1$.

Pour déterminer une condition sur les diviseurs communs positifs de $a$ et $b$, on cherche à éliminer $k$ par une combinaison linéaire de $a$ et $b$ :

$4a - 3b = 4(9k + 2) - 3(12k + 1) = 36k + 8 - 36k - 3 = 5$.

Un diviseur commun positif de $a$ et $b$ doit diviser 5, donc il ne peut être que 1 ou 5.

III. Des exemples rédigés et des méthodes

$1.$ Montrer une divisibilité

Démontrer que la somme de trois entiers relatifs consécutifs est divisible par 3.

Solution :
Trois entiers relatifs consécutifs peuvent s'écrire $n-1$, $n$, $n+1$.
Leur somme est :
$(n - 1) + n + (n + 1) = 3n$
Cette somme est donc divisible par 3.

$2.$ Un raisonnement par disjonction des cas

Soit $n$ un entier naturel et $A = n(n^2 + 5)$.
Démontrer que $A$ est pair.

Solution :
Un entier naturel $n$ est soit pair, soit impair.

1er cas : $n$ est pair
Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $n = 2k$.
Alors : $A = 2k(4k^2 + 5)$ avec $(4k^2 + 5)$ entier naturel. Donc 2 divise $A$.

2ᵉ cas : $n$ est impair
Il existe donc un entier naturel $k$ tel que $n = 2k + 1$.
Alors : $A = (2k + 1)[(2k +1)^2 +5]$
Développons :
$A = (2k + 1)(4k^2 + 4k + 6) = 2(2k + 1)(2k^2 + 2k + 3)$
avec $(2k + 1)(2k^2 + 2k + 3)$ entier naturel, donc 2 divise $A$.

Conclusion : les deux cas ci-dessus permettent de conclure que $A$ est toujours pair.

$3.$ Utiliser les propriétés du cours

Quelles sont les valeurs de l'entier relatif $n$ pour lesquelles $n+4$ divise $3n+8$?

Solution :
On doit choisir $n + 4 \neq 0$, soit $n \neq -4$.
On constate que $3n + 8 = 3(n + 4) - 4$
$n + 4$ divise $3(n + 4)$, donc $n + 4$ divise $3n + 8$ si $n + 4$ divise par combinaison linéaire $3n+8-6(n+4)$ soit $-4$.
Les diviseurs de $-4$ sont $1\, ;\, -1 \,;\, 2 \,; \,-2 \,; \,4 \,; \,-4$.
Il faut que $n + 4 \in \lbrace -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 \rbrace$ ce qui entraîne que $n \in \lbrace -8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0 \rbrace$
On vérifie que $-4$ n'appartient pas à $\lbrace -8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0 \rbrace$ avant de conclure.
Conclusion : $n+4$ divise $3n+8$ lorsque $n \in\{ -8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0\}$