Lorsqu’on place des nombres sur la droite réelle, les points obtenus sont situés à une certaine distance de l’origine. On exprime cette distance grâce à un nouvel outil : la valeur absolue.
I Valeur absolue
Soita et b deux nombres. Plaçons sur la droite réelle d’origine O les points A et B d’abscisses respectives a et b. La distance AB se note |b – a|, elle se lit « valeur absolue de b – a ».
La distance entre deux nombres a et b se note d(a ; b).
Par abus, on dit que la valeur absolue d’un nombre est sa distance à 0 sur la droite réelle : AO = OA = |a| = |–a|.
Propriétés
• |b – a| est un nombre positif. • Comme AB = BA, |b – a| = |a – b|.
II Intervalles centrés en un point
Soit A un point de la droite réelle d’abscissea et r un nombre strictement positif. L’ensemble des abscisses x des points M dont la distance à A est inférieure ou égale à r vérifient l’inégalité : |x – a| ⩽ r. Ils forment l’intervalle fermé de centre a et de rayonr (hachuré en rouge sur la figure).
|x – a| ⩽ r⇔ x∈ [a –r ; a + r] ⇔ AM ⩽ r⇔d(x ; a) ⩽ r
Tout nombre de cet intervalle s’appelle une approximation de a avec la précision r.
L’ensemble des points de la droite réelle dont l’abscisse x vérifie |x – a| > r n’est pas un intervalle.
|x – a| > r⇔ d(x ; a) > r⇔ x∈]–∞ ; a – r[∪]a + r ; +∞[ ⇔ AM >r.
1 Résoudre des équations et des inéquations comportant des valeurs absolues
Repère
Conseils
a. Transformez x + 4 en une différence x – ... .
b. Transformez x + 2 en une différencex – ... .Résoudre les équations et inéquations suivantes et représenter les solutions sur la droite réelle.
solution
a. |x + 4| = 3
b. |x + 2| ⩽ 3
a. Comme x + 4 = x – (–4), |x + 4| = 3 ⇔ |x – (–4)| = 3. On cherche donc les nombres x dont la distance à –4 soit égale à 3. Ce sont les nombres –7 et – 1.
b. Comme x + 2 = x – (–2), |x + 2| ⩽ 3 ⇔ |x – (–2)| ⩽ 3. On cherche donc les nombres x dont la distance à –2 est inférieure ou égale à 3. Il s’agit par définition de l’intervalle fermé de centre –2 et de rayon 3 c’est-à-dire [–5 ; 1].2 Savoir si un nombre appartient à un intervalle en Python
Quelle est la mission du programme suivant ?
solution
Le programme demande à l’utilisateur de saisir un nombre nommé x. Il teste son appartenance à l’intervalle [π – 1 ;π + 1] selon la valeur de |x – π| puis renvoie une réponse : si |x –π| ⩽ 1 alors x∈ [π – 1 ;π + 1] et sinon x ∉ [π – 1 ;π + 1].
