I. Écritures fractionnaires

Pour $b \neq 0$ , $\dfrac{a}{b}$ désigne le quotient de $a$ par $b$ .

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Exemple : le résultat de la division de 6,8 par 2 est 3,4.
On écrit : $\dfrac{6,8}{2} = 3,4$

Remarque : lorsque $a$ et $b$ sont entiers ( $b$ différent de 0), $\dfrac{a}{b}$ est une fraction.

On a vu en 6^e que :

$\dfrac{a}{b}$ (ou $a \div b$ ) est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ .

II. Égalité de quotients

Règle
Un nombre en écriture fractionnaire ne change pas lorsque l'on multiplie (ou lorsque l'on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Pour tous nombres, $a, b, k, m$

( $b, k, m$ non nuls)

$\dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a}{b}$

$\dfrac{a : m}{b : m} = \dfrac{a}{b}$

Exemples :

$a)$ $\dfrac{3,1}{4} = \dfrac{3,1 \times 10}{4 \times 10} = \dfrac{31}{40}$

$b)$ $\dfrac{15}{25} = \dfrac{3 \times 5}{5 \times 5} = \dfrac{3}{5}$

On dit que l'on a simplifié $\dfrac{15}{25}$

par 5.

c) $\dfrac{35}{15} = \dfrac{35 : 5}{15 : 5} = \dfrac{7}{3}$

III. Quotient de deux nombres décimaux

On cherche la valeur de $\dfrac{3,17}{2,5}$ .
On multiplie le quotient (numérateur et dénominateur) par 10, 100, 1000... permettant de transformer le dénominateur en entier.

On peut alors effectuer une division euclidienne classique.

Exemple : poser et effectuer la division de 3,17 par 2,5.

Je sais que : $\dfrac{3,17}{2,5} = \dfrac{3,17 \times 10}{2,5 \times 10} = \dfrac{31,7}{25}$

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IV. Comparaison de nombres en écriture fractionnaire

$1.$ Cas où les nombres en écriture fractionnaire ont même dénominateur

Règle
Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur,

alors le plus petit est celui qui a le plus petit numérateur.

Exemples :

Je sais que $4\lt 10$

donc : $\dfrac{4}{9} \lt \dfrac{10}{9}$

Je sais que $3,18\gt 3,1$

donc : $\dfrac{3,18}{5,6} \gt \dfrac{3,1}{5,6}$

$2.$ Cas où les nombres en écriture fractionnaire ont des dénominateurs multiples l'un de l'autre

Règle
Si deux nombres en écriture fractionnaire ont des dénominateurs multiples l'un de l'autre,

alors on les réduit au même dénominateur pour les comparer.

Exemple :

Comparer $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{7}{15}$ .
On réduit les fractions au même dénominateur : $\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{9}{15}$
et on applique la règle du paragraphe précédent : $\dfrac{9}{15} \gt \dfrac{7}{15}$
Donc :

$\dfrac{3}{5} \gt \dfrac{7}{15}$

$3.$ Cas où les nombres en écriture fractionnaire ont même numérateur

Règle
Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même numérateur,

alors le plus petit est celui qui a le plus grand dénominateur.

exemples :

$\dfrac{3}{7} \gt \dfrac{3}{18}$

$\dfrac{4,7}{5,78} \lt \dfrac{4,7}{2,7}$

V. Somme et différence de nombres en écriture fractionnaire

$1.$ Somme

Règle
Pour calculer la somme de deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur,

on ajoute les numérateurs
et on garde le dénominateur commun.

Pour tous nombres a, b, c

(c non nul),

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$

Exemple :

$\dfrac{3}{7} + \dfrac{10}{7} = \dfrac{3 + 10}{7} = \dfrac{13}{7}$

$2.$ Différence

Règle

Pour calculer la différence de deux

nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur,

on soustrait les numérateurs
et on garde le dénominateur commun.

Pour tous nombres a, b, c

(c non nul),

$\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}$

Exemple :

$\dfrac{15}{11} - \dfrac{7}{11} = \dfrac{15 - 7}{11} = \dfrac{8}{11}$

$3.$ Remarque
Si les nombres en écriture fractionnaire ont des dénominateurs multiples l'un de l'autre, alors on les réduit au même dénominateur puis on les additionne ou on les soustrait.

Exemple :
$\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{3 \times 3}{5 \times 3} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{9}{15} + \dfrac{2}{15}$

$= \dfrac{9 + 2}{15} = \dfrac{11}{15}$

Des fractions : additionner ou soustraire, fractions égales

I. Écritures fractionnaires

II. Égalité de quotients

III. Quotient de deux nombres décimaux

IV. Comparaison de nombres en écriture fractionnaire

V. Somme et différence de nombres en écriture fractionnaire