I. Un tableau récapitulatif

II. Un exemple de démonstration

Démonstration de la dérivée de $\sqrt{x}$

Soit $f(x) = \sqrt{x}$ et $D_f = [0 ; +\infty[$ .

$\tau(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$

$f(a+h) = \sqrt{a+h}$

$f(a) = \sqrt{a}$

$\tau(h) = \dfrac{\sqrt{a+h} - \sqrt{a}}{h}$

Multiplication par l'expression conjuguée :

$\tau(h) = \dfrac{(\sqrt{a+h} - \sqrt{a})(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}{h (\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}$

$\tau(h) = \dfrac{(a+h) - a}{h (\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}$

$\tau(h) = \dfrac{h}{h (\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}$

$\tau(h) = \dfrac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}}$

$\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a}}$

$= \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$

Attention, $f$ n’est pas dérivable en $0$ . Donc $D_f = [0 ; +\infty[$ mais $D_{f'} = ]0 ; +\infty[$ , intervalle ouvert en $0$ .

Ainsi, on a : $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .