Dérivation

I. Approche graphique du nombre dérivé

1) Sécante et tangente

Sécante à une courbe en un point

La courbe 𝒞 est la représentation graphique d’une fonction $f$. A est un point fixe d’abscisse a et d’ordonnée $f(a)$.

On considère le point M de la courbe 𝒞 d’abscisse $a + h$ et d’ordonnée $f(a + h)$.

La droite $(AM)$ est sécante à la courbe 𝒞.

Le taux d’accroissement de la fonction f entre les valeurs $a$ et $a + h$ est : $\dfrac{f(a+h)−f(a)}{(a+h)−a}=\dfrac{f(a+h)−f(a)}{h}$.

Le taux d’accroissement $\dfrac{f(a+h)−f(a)}{h}$ est le coefficient directeur de la sécante $(AM)$.

À savoir

Le taux d’accroissement d’une fonction $f$ entre les valeurs distinctes $x_1$ et $x_2$ est : $\dfrac{f(x_2)−f(x_1)}{x_2−x_1}$

Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ qui passe par les points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ est : $m=\dfrac{y_B−y_A}{x_B−x_A}$.

Tangente à une courbe en un point

On imagine que le point $M$ se déplace sur la courbe 𝒞. En se rapprochant de $A$. L’abscisse $a + h$ de $M$ se rapproche de l’abscisse $a$ de $A$, c’est-à-dire que $h$ se rapproche de $0$. Lorsque $h$ tend vers $0$, les sécantes $(AM)$ tendent vers une position limite représentée par la droite $(AT)$ sur la figure, appelée tangente à la courbe au point A.

2) Nombre dérivé en un point

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle et soit a un nombre fixé de cet intervalle.

Le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est, si elle existe, la limite finie quand $h$ tend vers $0$ du taux de variation $\dfrac{f(a+h)−f(a)}{h}$ de la fonction $f$ au point $a$.

Si $f'(a)$existe, la fonction $f$ est dérivable en $a$.

II. Fonction dérivée

1) Définition

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.

La fonction dérivée de $f$ est la fonction qui à tout $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ de $f$ en $x$.

$f'\;:\;x\mapsto f'(x)$

2) Opérations sur les fonctions dérivables

Dans ce qui suit, $f$ et $g$ sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$. $k$ est une constante réelle quelconque.

$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$    $(kf)'(x)=kf'(x)$

3) Dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3

Le tableau suivant, dans lequel la variable est $x$, donne les résultats « à savoir ».

Exemple

• Soit $f$ la fonction définie sur ℝ par : $f(x)=3x+2$.

Pour tout $x$ de ℝ, $f'(x)=3$.

• Soit $f$ la fonction définie sur ℝ par : $f(x)=−3x^2+4x−1$

Pour tout x de ℝ, $f'(x)=2(−3)x+4=−6x+4$.

• Soit $f$ la fonction définie sur ℝ par $f(x)=−2x^3−6x^2+3x+4$.

Pour tout $x$ de ℝ, $f'(x)=3(−2)x^2+2(−6)x+3=−6x^2−12x+3$.

III. Construction et équation réduite d'une tangente

1) Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur (rappel)

Coefficient directeur

Soit 𝔇 la droite d’équation $y=mx+p$ dans un repère $(O ; \overrightarrow i\,, \overrightarrow j)$ , $m$ est le coefficient directeur de 𝔇 et $p$ est l’ordonnée à l’origine de 𝔇.

Expression du coefficient directeur m d’une droite passant par deux points donnés.

Soit $M_1(x_1, y_1)$ et $M_2(x_2, y_2)$ deux points de 𝔇 d’abscisses différentes : alors $m=\dfrac{y_2−y_1}{x_2−x_1}$.

Une méthode pour construire une droite passant par un point donné A et dont le coefficient directeur m est donné.

À partir du point $A(x_A, y_A)$ de la droite 𝔇, d’équation $y=mx+p$, on obtient un deuxième point $B$ de la droite 𝔇 en ajoutant 1 à l’abscisse $A$ et $m$ à l’ordonnée de $A$ : $x_B=x_A+1$ et $y_B=y_A+m$.

2) Construire la tangente à une courbe en un point

On remplace dans la méthode $m$ par $f'(a)$ le coefficient directeur de la tangente.

À partir du point donné $A(x_A, y_A)$ où $y_A=f(x_A)$, on obtient un deuxième point $B$ de la tangente 𝔇 en ajoutant $1$ à l’abscisse de $A$ et $f'(x_A)$ à l’ordonnée de $A$ : $x_B=x_A+1$ et $y_B=y_A+f'(x_A).$

3) Équation de la tangente en un point à la courbe représentative de f

Équation de la tangente à la courbe représentative d’une fonction au point d’abscisse $a$

${\boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a)}}$

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur ℝ par $f(x)=2x^2-x-1$.

On se propose de déterminer une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d’abscisse $a=1$. Une équation de la tangente est donc : $y=f'(1)(x – 1)+f(1)$.

$f(1) = 2 - 1 - 1 = 0.$

Pour calculer $f'(1)$ il faut d’abord déterminer $f'(x)$. Pour tout $x$ de R, $f'(x)=2(2x)-1=4x-1$. D'où $f'(1)=3$.

Une équation de la tangente est donc : $y=3(x-1)+0=3x-3$.

IV. Sens de variation d'une fonction

Le signe de la dérivée comme conséquence du sens de variation de la fonction

Théorème

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle$I$.

• Si $f$ est croissante sur $I$, alors $f'(x)\geqslant 0$ pour tout x de $I$.

• Si $f$ est décroissante sur $I$, alors $f'(x)\leqslant 0$ pour tout x de $I$.

• Si $f$ est constante sur $I$, alors $f'(x)=0$ pour tout x de $I$.

Le sens de variation d’une fonction comme conséquence du signe de la dérivée.

Théorème

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

 • Si $f'(x)$ > $0$ pour tout $x$ de $I$, alors f est strictement croissante sur $I$.

• Si $f'(x)=0$ pour tout $x$ de $I$, alors f est constante sur $I$.

Exemple

On considère la fonction $f$ définie sur [–2, 3] par : $f(x)= x^3-3x^2+1$.

• Pour tout $x$ appartenant à [0, 3], $f'(x)= 3x^2-3\times (2x)= 3x^2-6x= 3x(x-2).$

• Les solutions de l’équation$f'(x)=0$ sont 0 et 2 ; et $x-2\geqslant 0$ équivaut à $x\geqslant 2$.

Lorsque $x$ varie dans [0, 3], le signe de $f'(x)=3x(x – 2)$ est donné par le tableau :

On peut alors remplir le tableau de variation suivant :

Minimums et maximums

La lecture du tableau de variation ou l’observation de la représentation graphique d’une fonction $f$ permet de déterminer ses éventuels extremums (minimum $m$ et maximum $M$) sur son intervalle de définition $I$. Si $m$ et $M$ existent, alors, pour tout x de l’intervalle $I$, on a : $m\leqslant f(x)\leqslant M$.

Théorème

Si $f$ est dérivable sur l’intervalle $I$ et admet un maximum (ou un minimum) en un point $a$ distinct des extrémités de $I$, alors $f'(a)=0$.