Définition et loi de probabilité d’une variable aléatoire

Lors d'une expérience aléatoire, il est fréquent que les issues soient des nombres, entiers ou réels.

Par exemple, le gain obtenu à un jeu de hasard, le nombre de jetons rouges tirés d'un sac, ou la durée des appels téléphoniques reçus sur une journée.

La notion de variable aléatoire nous permet de modéliser une expérience aléatoire par une fonction numérique, et de faire des calculs qui peuvent être des outils de décision avant la réalisation de l'expérience.

Une expérience aléatoire est une expérience ayant plusieurs issues possibles (ces issues sont également appelées "éventualités") et dont on ne peut pas prévoir à l'avance laquelle de ces issues sera réalisée.

Chaque issue est un événement dit élémentaire.

L'univers des possibles de l'expérience, noté $\Omega$, est l'ensemble de tous les résultats possibles $e_i$ d'une expérience aléatoire : $\Omega = {e_1, e_2, e_3, \ldots, e_n}$.

On définit alors une loi de probabilité sur $\Omega$ en associant une probabilité $p_i = p(e_i)$ à chacune des $n$ issues de $\Omega$, et telle que :
${\boxed{\text{Pour tout }i\;,\;0≤pi≤1\text{ et }p_1+p_2+…+p_n=1}}$

À retenir : la loi de probabilité est associée à l'expérience choisie ; on peut donc définir plusieurs lois de probabilité sur un même univers.

$1.$ On lance un dé à 6 faces, et on s'intéresse au chiffre lu sur la partie supérieure ;
$\Omega =\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
La probabilité de chacune des 6 issues $e_i$ est $p(e_i) = 1/6$ ; et on a $p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1$.

$2.$ On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 3 boules bleues (B) et 2 boules rouges (R) ; on a alors $\Omega =\{B, R\}$ et :
$p(B)=3/5\;;p(R)=2/5\;;\text{ et }p(B)+p(R)=1.$

Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : 3 bleues (B), 2 rouges (R), et 1 jaune (J).
On définit un jeu de la façon suivante : le joueur tire une boule.

$\bullet$si la boule est bleue, il perd 1 point,

$\bullet$si la boule est rouge, il gagne 1 point,

$\bullet$si la boule est jaune, il gagne 3 points.

Soit $X$ la variable qui, à chaque issue, c'est-à-dire à chaque élément de $\Omega$,
associe le nombre de points du joueur.
La variable $X$ ainsi définie est nommée variable aléatoire sur $\Omega$.

$X$ peut prendre 3 valeurs : $-1$, $1$ et $3$.
La probabilité que le joueur perde 1 point est $1/2$ et se note $p(X = -1) = 1/2$.
La probabilité que le joueur gagne 1 point est $1/3$ et se note $p(X = 1) = 1/3$.
La probabilité que le joueur gagne 3 points est $1/6$ et se note $p(X = 3) = 1/6$.

Définition : On définit une variable aléatoire $X$ en associant un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
On note $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ les valeurs réelles prises par $X$, et on note $(X = x_i)$ l'événement " $X$ prend la valeur $x_i$ ".

En classe de première, on étudie les variables aléatoires dénombrables (discrètes) et à valeurs réelles.

Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ c'est donc :

$\bullet$ préciser l'ensemble des valeurs $x_i$,

$\bullet$ calculer pour chaque $x_i$ sa probabilité $p_i$.

On peut présenter cette loi dans un tableau :

$\bullet$ sur la première ligne, on ordonne toutes les valeurs $x_i$ par ordre croissant.

$\bullet$ sur la seconde ligne, on note les probabilités correspondantes. Toujours vérifier que la somme des probabilités est bien égale à 1.

Dans l'exemple précédent, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ peut se présenter ainsi :

Calculer par exemple la probabilité des événements suivants :

- "Le joueur gagne au plus 1 point": cet événement s'écrit $(X \leq 1)$ et on a $p(X \leq 1) = p(X = -1) + p(X = 1) = 1/2 + 1/3 = 5/6$.

- "Le joueur gagne au moins 1 point": cet événement s'écrit $(X \geq 1)$ et on a :$p(X \geq 1) = p(X = 1) + p(X = 3) = 1/3 + 1/6 = 1/2$

Merci à Carita et Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche