Equations et caractéristiques de quelques mouvements particuliers

I. Équations caractérisant le mouvement d'un mobile

1. Équations horaires du mouvement

• Pour caractériser le mouvement d'un mobile assimilé à un point matériel, il suffit de connaitre la position du point à tout instant. En effet, la vitesse et l'accélération du point se déduisent alors par dérivations successives par rapport au temps.

• On appelle équations horaires du mouvement la ou les relation(s) exprimant la position du point en fonction du temps, dans un repère donné.

• Ainsi, dans un repère cartésien $(O~,~x~,~y~,~z)$, les équations horaires du mouvement s'écriront par exemple :

  $\left\lbrace\begin{matrix} x_G(t) = 3t \\[6pt] y_G(t) = t^2 \\[6pt] z_G(t) = e^{-t} \end{matrix} \right.$

  Ce sont les composantes du vecteur position $\overrightarrow{OG}$ (exprimées dans le repère cartésien).

• Remarque : hormis le modèle simplifié du point matériel, la trajectoire d'un seul point ne suffit pas, dans le cas général, à caractériser le mouvement d'un système (un solide par exemple), car les points du système n'ont pas forcément la même trajectoire.

2. Équation cartésienne de la trajectoire

• Pour trouver l'équation cartésienne de la trajectoire d'un point, il faut éliminer le paramètre $t$ des équations horaires.

• Exemple :

  Si, dans un repère cartésien $(O~,~x~,~y)$, les équations horaires d'un mouvement (plan) sont par exemple :

  $\left\lbrace\begin{matrix} x(t) = 2t \\[6pt] y(t) = 4t^2 \end{matrix} \right.$

  il suffit de remarquer que $t = \dfrac{x}{2}$ pour en déduire l'équation de la trajectoire :

  $y = 4 t^2 = \dfrac{4x^2}{4}$ c'est-à-dire $\boxed{y = x^2}$ ce qui est l'équation d'une parabole.

II. Mouvement rectiligne

• Un mobile est en mouvement rectiligne si la trajectoire du point est une droite (ou une portion de droite).

• On peut alors toujours définir un repère $(O~,~\overrightarrow{i})$ de telle manière que le mobile se déplace sur l'axe $(O~,~x)$. Ceci simplifie l'expression des vecteurs position, vitesse et accélération de $G$, et à tout instant $t$ :

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{OG}(t) = x(t) \overrightarrow{i}$ ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{v_G}(t) = v_x \overrightarrow{i} = \dfrac{dx}{dt} \overrightarrow{i}$ ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{a_G}(t) = \dfrac{dv_x}{dt} \overrightarrow{i} = \dfrac{d^2x}{dt^2} \overrightarrow{i}$ .

• Propriété :
  $\circ\quad$ Lors d'un mouvement rectiligne, les vecteurs position, vitesse et accélération sont colinéaires.

  $\circ\quad$ Leur direction est celle de la trajectoire (qui est droite).

1. Mouvement rectiligne uniforme

• Un mobile est en mouvement rectiligne uniforme si et seulement si le vecteur vitesse $\vec{v_G}$ est constant (il ne dépend pas du temps).

• La trajectoire du point $G$ est une droite (ou une portion de droite) qui est parcourue à vitesse constante.

• Le vecteur vitesse étant indépendant du temps, nous pouvons écrire : $\overrightarrow{a_G} = \dfrac{d\overrightarrow{v_G}}{dt} = \overrightarrow{0}$

• Propriété :

  Le mouvement du mobile est rectiligne uniforme si et seulement si l'accélération du point est nulle.

• Dans un repère $(O, \overrightarrow{i})$ choisi de telle manière que le mobile se déplace sur l'axe $(O,x)$, on peut alors écrire :

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{OG}(t) = x(t) \overrightarrow{i}$ ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{v_G}(t) = v_x \overrightarrow{i}$ avec $v_x = \text{constante = vitesse du mobile}$ ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{a_G}(t) = \dfrac{dv_x}{dt} \overrightarrow{i} = \overrightarrow{0}$ .

• D'autre part, l'équation horaire du mouvement se réduit à :

  $\boxed{x(t) = v_x . t + x_0}$ où $x_0$ est la position initiale du mobile

2. Mouvement rectiligne uniformément varié

• Un mobile est en mouvement rectiligne uniformément varié si la trajectoire du point $G$ est une droite et si le vecteur accélération $\overrightarrow{a_G}$ est constant. La vitesse est donc variable.

• Dans un repère $(O~,~\overrightarrow{i})$ choisi de telle manière que le mobile se déplace sur l'axe $(O~,~x)$, on peut alors écrire :

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{OG}(t) = x(t) \overrightarrow{i}$ ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{v_G}(t) = v \overrightarrow{i}$ (en posant $v_x = v$ pour simplifier) ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{a_G}(t) = \dfrac{dv}{dt} \overrightarrow{i} = a \overrightarrow{i}$ avec $a = \text{constante = accélération du point}$ .

• Cette accélération constante implique que :

  $\circ\quad$ La vitesse $v$ a pour expression :

  $\boxed{v(t) = a . t + v_0}$ où $v_0$ est la vitesse initiale du mobile

  $\circ\quad$ L'équation horaire du mouvement s'écrit :

$\boxed{x(t) = \dfrac{a . t^2}{2} + v_0 . t + x_0}$ où $x_0$ est la position initiale du mobile

• Si la valeur de la vitesse augmente au cours du temps, on parle aussi de mouvement accéléré.

• Si la valeur de la vitesse diminue, on parle aussi de mouvement retardé.

• Les deux équations précédentes peuvent être déterminées par la recherche de primitives en identifiant les constantes d'intégration à l'aide des conditions initiales du mouvement :

  En effet : $\boxed{\dfrac{dv}{dt} = a = cste}$

  $\Rightarrow \boxed{v(t) = \dfrac{dx}{dt} = a . t + C_1}$ en intégrant une première fois

  $\Rightarrow \boxed{x(t) = \dfrac{a . t^2}{2} + C_1 . t + C_2}$ en intégrant une seconde fois

  Si, à l'instant $t = 0$, on pose : $v(0) = C_1 = v_0$ et $x(0) = C_2 = x_0$, on retrouve bien les relations précédentes.

III. Mouvement circulaire

• Un mobile est en mouvement circulaire si la trajectoire du point est un cercle (ou un arc de cercle). Le mouvement est donc plan. Pour simplifier l'étude, on introduit un nouveau repère.

1. Repère de Frenet

• Comme indiqué sur la figure suivante, le repère de Frenet est centré sur le mobile ($G$) et associé aux deux vecteurs de base :

  $\circ\quad$ $\boxed{\overrightarrow{T}}$ : vecteur unitaire, tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement ;

  $\circ\quad$ $\boxed{\overrightarrow{N}}$ : vecteur unitaire, orthogonal à la trajectoire et dirigé vers le centre du cercle.

• Remarque : le repère de Frenet est mobile. Il change à chaque instant puisqu'il est centré sur le point mobile !

2. Expression de la vitesse

• Le vecteur vitesse étant toujours tangent à la trajectoire, il s'exprime très simplement dans le repère de Frenet :

  $\boxed{ \vec{v} = v \; \vec{T}}$ (où $v$ est la valeur de la vitesse)

• Le vecteur vitesse est donc colinéaire à $\overrightarrow{T}$ et de même sens.

3. Expression de l'accélération

• Dans le cas d'un mouvement circulaire, le vecteur accélération a pour expression générale dans le repère de Frenet (voir figure ci-dessous) :

$\boxed{ \vec{a} = a_T \; \vec{T} + a_N \; \vec{N} = \dfrac{d v}{dt} \; \vec{T} + \dfrac{v^2}{R} \; \vec{N}}$ (où $R$ est le rayon du cercle)

$\circ\quad$ $a_T = \dfrac{d v}{dt}$ est appelée l'accélération tangentielle : elle caractérise les variations de la valeur de la vitesse ($\dfrac{dv}{dt}$) ;

$\circ\quad$ $a_N = \dfrac{v^2}{R}$ est appelée l'accélération normale : elle caractérise les changements de direction du vecteur vitesse.

4. Cas du mouvement circulaire uniforme

• Le mouvement circulaire est uniforme si la valeur $v$ de la vitesse est constante (donc $\dfrac{d v}{dt} = 0$).

• C'est le mouvement des planètes du système solaire (en 1^re approximation) dans le référentiel héliocentrique, ainsi que le mouvement de nombreux satellites autour de la terre dans le référentiel géocentrique.

• C'est pourquoi il faut en connaître les caractéristiques (voir figure ci-dessous) :

  $\circ\quad$ Le vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ garde la même expression : $\boxed{ \overrightarrow{v} = v \; \overrightarrow{T}}$ ;

  $\circ\quad$ En revanche le vecteur accélération a une expression plus simple car $a_T = \dfrac{d v}{dt} = 0$ :

  $\boxed{ \overrightarrow{a} = a_N \; \overrightarrow{N} = \dfrac{v^2}{R} \; \overrightarrow{N}}$ (où $R$ est le rayon du cercle)

  $\circ\quad$ Le vecteur accélération est colinéaire et de même sens que $\overrightarrow{N}$ et donc normal à la vitesse ;

  $\circ\quad$ L'accélération est dite centripète (c'est-à-dire dirigée vers le centre du cercle) ;

  $\circ\quad$ La valeur de l'accélération $a = \dfrac{v^2}{R}$ est constante (car $v$ est constante).

• $\textcolor{red}{\text{ATTENTION !}}$ Lors d'un mouvement circulaire uniforme, la valeur de la vitesse et celle de l'accélération sont constantes, mais les vecteurs vitesse et accélération ne le sont pas, car ils changent constamment de direction !

_{= Merci à krinn et gbm pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}