Coordonnées du milieu d'un segment, distance

Il y a de nombreux moyens de calculer des distances en ­géométrie : théorèmes de Pythagore ou de Thalès, trigonométrie... C’est également possible en utilisant les coordonnées.

I Coordonnées du milieu d’un segment

On considère deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB). Les coordonnées xM et yM du milieu M du segment [AB] sont données par les formules :

$x_{\text{M}}=\frac{x_{\text{A}}+x_{\text{B}}}{2}$ et $y_{\text{M}}=\frac{y_{\text{A}}+y_{\text{B}}}{2}$

Repère
À noter

L’abscisse du milieu d’un segment est égale à la moyenne des abscisses des extrémités. Il en est de même pour l’ordonnée.

Exemple : Avec A(2 ; 1) et B(5 ; 3), le milieu M de [AB] a pour coordonnées $\left(\frac{7}{2}\text{ ; }2\right)$. En effet : $x_{\text{M}}=\frac{2+5}{2}=\frac{7}{2}$ et $y_{\text{M}}=\frac{1+3}{2}=2$.

II Distance de deux points

Dans un repère orthonormé, on considère deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB). La distance AB est donnée par la formule :

$\text{AB}=\sqrt{{(x_{\text{B}}–x_{\text{A}})}^2+{(y_{\text{B}}–y_{\text{A}})}^2}$

On peut avoir une idée de la démonstration de la formule dans le cas particulier de la figure ci-contre.

On a AC = xC – xA = xB – xA et BC = yB – yC = yB – yA.

En appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC, on obtient :

AB² = AC² + BC² = (xB – xA)² + (yB – yA)².

D’où $\text{AB}=\sqrt{{(x_{\text{B}}–x_{\text{A}})}^2+{(y_{\text{B}}–y_{\text{A}})}^2}$.

Méthode

1 Calculer les coordonnées d’un point

Dans un repère, on donne les points A(1 ; 6), B(7 ; 2) et C(–1 ; –2).

Déterminer les coordonnées du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

Repère
ConseilS

Les diagonales du quadrilatère doivent avoir le même milieu.

solution

Soit x l’abscisse de D et y son ordonnée.

ABCD est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.

Les coordonnées du milieu I de [AC] sont xI = $\frac{1–1}{2}=0$ et yI = $\frac{6–2}{2}=2$.

Exprimées à l’aide des coordonnées de B et de D, on a : xI = $\frac{7+x}{2}$ et yI = $\frac{2+y}{2}$.

Ainsi : $\frac{7+x}{2}=0$ donc x = –7 ; et $\frac{2+y}{2}=2$ donc 2 + y = 4, c’est-à-dire y = 2.

Les coordonnées du point D sont (–7 ; 2).

2 Démontrer l’alignement de points en calculant des distances

conseilS

a. Utilisez la formule de la distance de deux points.

b. Si la plus grande des trois distances est égale à la somme des deux autres, alors les points sont alignés. (Inégalité triangulaire : si BC est le plus grand côté d’un triangle ABC, alors BC ⩽ BA + AC ; l’égalité a lieu si et seulement si le triangle est aplati.)

Dans un repère, on donne les points A(–1 ; 4), B(2 ; –5) et C(–3 ; 10).

a. Calculer les distances AB, BC et CA.

b. En déduire que les points A, B et C sont ­alignés.

solution

a. ${\text{AB}}^{\text{2}}={(2+1)}^2+{(–5–4)}^2=3^2+{(–9)}^2=90\Rightarrow \text{AB}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$.

${\text{BC}}^2={(–3–2)}^2+{(10+5)}^2={(–5)}^2+{15}^2=250\Rightarrow \text{BC}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}$.

${\text{CA}}^2={(–3+1)}^2+{(10–4)}^2={(–2)}^2+6^2=40\Rightarrow \text{CA}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$.

b. Puisque $\text{BA}+\text{AC}=5\sqrt{10}=\text{BC}$, les points A, B, C sont alignés.