Contraposée du théorème de Pythagore : pour aller plus loin

La propriété suivante va nous permettre de montrer qu'un triangle n'est pas rectangle à l'aide des longueurs des côtés du triangle.

I. Contraposée du théorème de Pythagore

Si dans un triangle $ABC$, dont le plus grand côté est $[BC]$, on constate que :
$BC^2 \ne AB^2 + AC^2$, alors le triangle n'est pas rectangle.

Ceci est une conséquence du théorème de Pythagore, comme l'égalité n'est pas vérifiée, c'est que le triangle ne peut pas être rectangle.

II. Exemple de rédaction de la contraposée

Dans un triangle ABC, on sait que : $AB = 7$ cm, $AC = 11$ cm et $BC = 13$ cm.

Dans ce triangle, on repère le plus grand côté qui est $[BC]$.

D'une part : $BC^2 = 13^2 = 169$

D'autre part : $AB^2 + AC^2 = 7^2 + 11^2 = 49 + 121 = 170$

On constate donc que : $BC^2 \ne AB^2 + AC^2$

D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.

III. Théorème, réciproque du théorème et contraposée du théorème