Lors d’une expérience aléatoire, le calcul des probabilités des événements élémentaires se fait facilement. Grâce à ces probabilités, on peut ensuite calculer celles d’événements non élémentaires.
I Probabilité d’un événement
Repère
À noterLa somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
Théorème. La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
Cas particulier important : Si tous les événements élémentaires sont équiprobables, la probabilité d’un événement A est égale au rapport :
nombre d’événements élémentaires dans Anombre total d’événements élémentaires
Soit A et B deux événements.
L’intersection de A et de B est l’événement formé de tous les éléments communs à A et à B. On la note A ∩ B qui se lit « A inter B ».
La réunion de A et de B est l’événement formé de tous les éléments appartenant à A ou à B ou aux deux. On la note A ∪ B qui se lit « A union B ».
Le contraire de A est l’événement formé des éléments qui appartiennent à Ω mais pas à A. On le note ˉA qui se lit « A barre ».
Dire que deux événements sont incompatibles signifie que A ∩ B = Ø.
II Formules de calcul
Théorème 1. Pour tout événement A et tout événement B d’un univers Ω :
P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B)
Cas particulier important : Si les événements A et B sont incompatibles (et dans ce seul cas), alors :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Théorème 2. Pour tout événement A :
Repère
À noterL’événement Ω étant l’événement certain, il y a 100 % de chances qu’il se produise. Donc : P(Ω) = 1 et P(Ø) = 1 – P(Ω) = 0.
P(A)+P(ˉA)=1
Donc P(ˉA)=1–.
MéthodeCalculer la probabilité d’un événementUne urne contient 3 boules blanches (bb) et 7 boules noires (bn) identiques.
a. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit noire ?Repère
b. On tire une poignée de deux boules. Quelle est la probabilité qu’elles soient de couleurs différentes ?
ConseilSa. Les événements élémentaires sont au nombre de 10. Attention, la réponse n’est pas sous prétexte que la boule tirée est soit noire soit blanche !
b. Examinez les deux raisonnements suivants : ils sont faux ! Pourquoi ?
Premier raisonnement faux. Trois tirages sont possibles : 1 bb et 1 bn ; 2 bb ou 2 bn. Il y a donc une chance sur trois pour chacun.
Deuxième raisonnement faux. Soit le tirage est bicolore, soit le tirage est unicolore. Il y a donc une chance sur deux pour chacun.
solution
a. On peut numéroter les bb de 1 à 3 (b1, b2, b3) et les bn de 4 à 10 (b4, b5, …, b10). L’événement « la boule tirée est noire » est donc {b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10}. Cet événement est formé de 7 événements élémentaires. Sa probabilité est égale à .
b. L’univers des possibles est constitué de toutes les paires de boules possibles.On compte :
9 paires contenant la b1 ((b1, b2), (b1, b3)…),
8 paires contenant la b2 et pas la b1 ((b2, b3), (b2, b4)…),
7 paires contenant la b3 et ni la b1 ni la b2, etc.,
1 paire contenant la b9 et aucune des précédentes ((b9, b10)).
Au total, on a 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 événements élémentaires.
7 événements élémentaires contiennent la b1 et une boule noire : (b1, b4), (b1, b5), (b1, b6),…, (b1, b10). De même, 7 événements élémentaires contiennent la b2 et une boule noire. 7 événements encore contiennent la b3 et une boule noire.
Au total, 21 événements élémentaires composent l’événement « les deux boules sont de couleurs différentes ».
La probabilité cherchée est donc égale à , soit à .
À noterLes affirmations énoncées dans les deux raisonnements des « Conseils » sont justes, mais ce sont les conclusions que l’on en tire qui sont fausses. En effet, les événements énoncés ne sont pas équiprobables.
