Calculer une probabilité

I. Définition

Exemple : On décide de lancer 10 fois, 50 fois, 400 fois un dé à 6 faces, et on regarde si on a obtenu un nombre pair. Sur le nombre de lancers, on calcule régulièrement la fréquence d'apparition d'un nombre pair, et on s'aperçoit que lorsque le nombre de lancers est très grand, la fréquence d'apparition se stabilise autour de la valeur $\dfrac 12$. Cette valeur $\dfrac 12$ s'appelle la probabilité de l'événement "obtenir un nombre pair lors du lancer du dé".

Définition :
Quand une expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d'un événement élémentaire se rapproche d'une valeur particulière : la probabilité de cet événement élémentaire.

Exemples :
$1.$ La probabilité d'obtenir « pile » lors du jet d'une pièce est égale à $\dfrac{1}{2}$ ou 0,5.
$2.$ Dans un collège, on a interrogé les élèves sur le nombre d'enfants dans leur famille.

On choisit un élève au hasard dans le collège.
La probabilité pour que cet élève appartienne à une famille de trois enfants est approchée par la fréquence correspondante, soit $\dfrac{24,39}{100}$ ou 0,2439.

Définition
La probabilité d'un événement est définie comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

Propriétés (admises)
$\checkmark$ Quel que soit l'événement A, on a : $0 \leq p(A) \leq 1$.
$\checkmark$ La probabilité d'un événement certain est égale à 1.
$\checkmark$ La probabilité d'un événement impossible est égale à 0.
$\checkmark$ La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
$\checkmark$ Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités : P(A ou B) = P(A) + P(B).

Exemple :
Dans l'expérience du jeu de dé à 6 faces, on appelle :
A l'événement élémentaire : « obtenir un 1 » ; B l'événement élémentaire « obtenir un 2 »,
C l'événement élémentaire : « obtenir un 3 » ; D l'événement élémentaire « obtenir un 4 »,
E l'événement élémentaire : « obtenir un 5 » ; F l'événement élémentaire « obtenir un 6 ».

Chaque face a la même chance d'apparition, donc :
$p(A) = p(B) = p(C) = p(D) = p(E) = p(F) = \dfrac{1}{6}$

On a :
$p(A) + p(B) + p(C) + p(D) + p(E) + p(F) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = 1$

Soit l'événement M « obtenir un multiple de 3 ». L'événement M est réalisé si la face obtenue est 3 ou 6.
On a alors :
$p(M) = p(C) + p(F) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

Les événements M et E sont incompatibles. Donc la probabilité d'obtenir 5 ou un multiple de 3 est égale à :
$p(E \text{ ou }M) = p(E) + p(M) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

II. Équiprobabilité

Définition
Si tous les événements élémentaires ou éventualités d'une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit que les événements élémentaires sont équiprobables ou qu'il y a équiprobabilité.

Propriété (admise)
Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est égale au quotient du nombre de cas favorables à $A$ par le nombre de cas possibles.

$\boxed{p(A)=\dfrac{\text{Nombre d'issues favorables à }A}{\text{Nombre total d'issues}}}$

Exemple :
Soit l'événement M « obtenir un multiple de 3 » dans un jeu de dé.
Toutes les faces ayant la même chance d'apparition, il y a équiprobabilité.
L'événement M est constitué de 2 événements élémentaires, il y a 2 cas favorables pour réaliser M sur 6 cas possibles. Donc $p(M) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

III. Evénement contraire

Propriété :
La somme des probabilités d'un événement A et de son contraire est 1, cela s'écrit :
$p(A) + p(\overline{A}) = 1$.

Exemple :
Soit l'événement M : « obtenir un multiple de 3 » dans un jeu de dé. L'événement $\overline{M}$ est : « ne pas obtenir un multiple de 3 » ou encore « obtenir 1, 2, 4 ou 5 ».
Pour réaliser l'événement « non M », il y a 4 cas favorables équiprobables, donc $p(\overline{M}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

On a aussi :
$p(\overline{M}) = 1 - p(M)$, donc $p(\overline{M}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

IV. Expériences aléatoires à deux épreuves

Exemple :
On joue à Pile (P) ou Face (F) avec une pièce bien équilibrée. Ensuite, on fait tourner la roue bien équilibrée ci-dessous et on relève le numéro du secteur qui s'arrête face au repère.

On peut organiser les résultats de cette expérience dans un tableau à double entrée.

Sur la première ligne, on note $P$ pour "pile" et $F$ pour "face".

Dans la première colonne, on note tous les secteurs de la roue.

Ecrire $P2$ signifie pour a obtenu "pile" lors du lancer de la pièce, suivi d'avoir obtenu un secteur "2" sur la roue.

Dans ce tableau on a 12 possibilités équiprobables au total. Il n'y a qu'une seule possibilité d'obtenir $P1$ alors qu'il y a 2 possibilités d'obtenir $F2$.

D'après ce tableau par exemple :

$p(P1)=\dfrac{\text{Nombre d'issues favorables à }P1}{\text{Nombre total d'issues}}=\dfrac{1}{12}$ ;

$p(F2)=\dfrac{\text{Nombre d'issues favorables à }F2}{\text{Nombre total d'issues}}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$ ...

On admet que la probabilité d'obtenir l'issue (P1) est égale au produit des probabilités $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{6}$ rencontrées successivement avec "Pile" lors du lancer de la pièce, puis avec "obtenir 1" sur la cible.

On pourra écrire : $p(P1)=\dfrac 12\times \dfrac 16=\dfrac{1}{12}$

Propriété (admise)
La probabilité d'un résultat d'une expérience à deux épreuves est égale au produit des probabilités successives conduisant à ce résultat.