Calculer des volumes

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I. Rappels de cours

Formules donnant les principaux volumes

Cube

98891_fiche_30_doc_01

arête cc

V=c3V=c^3

Parallélépipède rectangle

98891_fiche_30_doc_02

longueur LL, largeur ll, hauteur hh

V=L×l×hV=L \times l \times h

Prisme droit

98891_fiche_30_doc_03

base d’aire BB,

hauteur hh

V=B×hV= B \times h

Cylindre de révolution

98891_fiche_30_doc_04

base de rayon rr,

hauteur hh

V=π×r2×hV = \pi \times r^2 \times h

Pyramide ou cône de révolution

98891_fiche_30_doc_05

base d’aire BB,

hauteur hh

V=13×B×hV= \dfrac{1}{3} \times B \times h

Boule

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rayon rr

V=43×π×r3V=\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3


II. Méthodes

1) Trouver une relation entre deux rayons

On considère une boule de rayon RR et un cône de révolution dont la base aa pour rayon xx et dont la hauteur mesure RR.

a. Exprimer les volumes de la boule et du cône.

b. Sachant que la boule et le cône ont le même volume, calculer, en fonction de RR, le rayon xx de la base du cône.


Solution

a. Le volume de la boule est : V1=43×π×R3V_1=\dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3.

Le volume du cône est : V2=13×(π×x2)×RV_2= \dfrac{1}{3} \times (\pi \times x^2) \times R.


b.
Les deux solides ayant même volume, nous avons donc : V1=V2V_1=V_2,

soit 13×(π×x2)×R=43×π×R3\dfrac{1}{3} \times (\pi \times x^2) \times R=\dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3.

Donc 13×π×(x2)=13×π×(4R2)\dfrac{1}{3} \times \pi \times (x^2) = \dfrac{1}{3} \times \pi \times (4R^2).

En simplifiant, nous obtenons : x2=4R2x^2=4R^2.

Comme xx et RR sont des longueurs, ce sont des nombres positifs et nous avons : x=2Rx=2R.


2) Calculer le volume d’un seau

96239_fiche_23_doc_01

Un seau a la forme d’un tronc de cône.

Les deux bases circulaires sont parallèles et ont pour diamètres [AB][AB] et [AB][A'B'] et pour centres respectifs OO et OO'. On donne AB=12 cmAB=12~cm, SO=24 cmSO=24~cm et SO=8 cmSO'=8~cm.

a. Calculer la longueur du segment [OA][O'A'].

b. Calculer le volume VV du seau à 1 cm31~cm^3 près.

Conseils

a. Applique le théorème de Thalès pour trouve la distance OAOA.

b. Calcule le volume des deux cônes de sommet SS, puis déduis-en le volume du tronc de cône. 


Solution

a. Les rayons [OA][OA] et [OA][O'A'] sont parallèles, on peut donc appliquer le théorème de Thalès. On obtient :

OAOA=SOSO\dfrac{O'A'}{OA}=\dfrac{SO'}{SO}

Comme OA=AB2=122=6OA=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{12}{2} = 6,

nous avons OA6=824\dfrac{O'A'}{6}=\dfrac{8}{24},

soit OA=8×624O'A'=\dfrac{8 \times 6}{24}

ou encore OA=2 cmO'A'=2~cm.


b.

V=13×π×OA2×SO13×π×OA2×SOV=\dfrac{1}{3} \times \pi \times OA^2 \times SO - \dfrac{1}{3} \times \pi \times O'A'^2 \times SO'

V=13×π×62×2413×π×22×8V=\dfrac{1}{3} \times \pi \times 62 \times 24 - \dfrac{1}{3} \times \pi \times 22 \times 8

V=8323πV=8323 \pi, soit V=871 cm3V=871~cm^3 à 1 cm31~cm^3 près.