I. Rappels de cours
Formules donnant les principaux volumes
Cube arête
|
Parallélépipède rectangle longueur , largeur , hauteur
|
Prisme droit base d’aire , hauteur
|
Cylindre de révolution base de rayon , hauteur
|
Pyramide ou cône de révolution base d’aire , hauteur
|
Boule rayon
|
II. Méthodes
1) Trouver une relation entre deux rayons
On considère une boule de rayon et un cône de révolution dont la base pour rayon et dont la hauteur mesure .
a. Exprimer les volumes de la boule et du cône.
b. Sachant que la boule et le cône ont le même volume, calculer, en fonction de , le rayon de la base du cône.
Solution
a. Le volume de la boule est : .
Le volume du cône est : .
b. Les deux solides ayant même volume, nous avons donc : ,
soit .
Donc .
En simplifiant, nous obtenons : .
Comme et sont des longueurs, ce sont des nombres positifs et nous avons : .
2) Calculer le volume d’un seau
Un seau a la forme d’un tronc de cône.
Les deux bases circulaires sont parallèles et ont pour diamètres et et pour centres respectifs et . On donne , et .
a. Calculer la longueur du segment .
b. Calculer le volume du seau à près.
Conseils
a. Applique le théorème de Thalès pour trouve la distance .
b. Calcule le volume des deux cônes de sommet , puis déduis-en le volume du tronc de cône.
Solution
a. Les rayons et sont parallèles, on peut donc appliquer le théorème de Thalès. On obtient :
Comme ,
nous avons ,
soit
ou encore .
b.
, soit à près.