Calculer avec des nombres en écriture fractionnaire

I. Quotients égaux

Propriété :
Un nombre en écriture fractionnaire ne change pas si l'on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Pour tous nombres $a$, $b$ et $k$ (avec $b$, $k$ non nuls) :
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \times k}{b \times k}$ et $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a : k}{b : k}$

Exemples :
$\dfrac{3,1}{4} = \dfrac{3,1\times10}{4\times10} = \dfrac{31}{40}$
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3\times5}{5\times5} = \dfrac{15}{25}$
$\dfrac{35}{15} = \dfrac{35:5}{15:5} = \dfrac{7}{3}$

II. Addition - Soustraction

Propriété :
Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres en écriture fractionnaire :

• on réduit les nombres en écriture fractionnaire au même dénominateur,

• on additionne (ou on soustrait) les numérateurs,

• on garde le dénominateur commun.

Pour tous nombres $a$, $b$, $c$ ($c$ non nul),
$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ et $\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}$

Exemples :
$\dfrac{-8,5}{4}+\dfrac{3,5}{4} = \dfrac{-8,5+3,5}{4} = \dfrac{-5}{4}$
$\dfrac{-3}{7}-\dfrac{4}{3} = \dfrac{-3\times3}{7\times3}-\dfrac{4\times7}{3\times7} = \dfrac{-9}{21}-\dfrac{28}{21} = \dfrac{-9-28}{21} = \dfrac{-37}{21}$

III. Multiplication

Propriété :
Pour calculer le produit de deux nombres en écriture fractionnaire :

• on multiplie les numérateurs entre eux,

• on multiplie les dénominateurs entre eux.

Pour tous nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ ($c$ et $d$ non nuls),
$\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$

Exemple :
$\dfrac{4}{25}\times\dfrac{-15}{16} = -\dfrac{4\times15}{25\times16} = -\dfrac{4\times5\times3}{5\times5\times4\times4} = -\dfrac{3}{5\times4} = -\dfrac{3}{20}$

IV. Inverse

Propriété :
L'inverse d'un nombre $a$ non nul est $\dfrac{1}{a}$
L'inverse d'un nombre $\dfrac{a}{b}$ est le nombre $\dfrac{b}{a}$ (avec $a$ et $b$ non nuls).

Exemples :
L'inverse de $\dfrac{1}{4}$ est 4.
L'inverse de $\dfrac{-3}{5}$ est $\dfrac{5}{-3}=-\dfrac{5}{3}$
L'inverse de $2\pi$ est $\dfrac{1}{2\pi}$

V. Division

Propriété :
Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
Pour tous nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ ($b$, $c$ et $d$ non nuls),
$a:b = \dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}$ et $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$

Exemples :
$T=\dfrac{4}{3}:\dfrac{8}{7}$
$T=\dfrac{4}{3}\times\dfrac{7}{8}$
$T=\dfrac{4\times7}{3\times8}$
$T=\dfrac{4\times7}{3\times4\times2}$
$T=\dfrac{7}{3\times2}$
$T=\dfrac{7}{6}$

$U=\dfrac{\dfrac{-7}{25}}{\dfrac{49}{-5}}$
$U=\dfrac{-7}{25}\times\dfrac{-5}{49}$
$U=\dfrac{(-7)\times(-5)}{25 \times 49}$
$U=\dfrac{7 \times 5}{5 \times 5 \times 7 \times 7}$
$U=\dfrac{1}{35}$

VI. Application : Calculer

$1.$ $D=3+\dfrac{2}{5}-\dfrac{8}{15}$

$2.$ $E=\dfrac{34}{40}\times\dfrac{27}{51}$

$3.$ $F=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{4}\times\dfrac{2}{3}$

$4.$ $F=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{4}\times\dfrac{2}{3}$

Solution :

$1.\quad D=\dfrac{3\times15}{1\times15}+\dfrac{2\times3}{5\times3}-\dfrac{8}{15}$
$D=\dfrac{45}{15}+\dfrac{6}{15}-\dfrac{8}{15}$
$D=\dfrac{45+6-8}{15}$
$D=\dfrac{43}{15}$

$2.\quad E=\dfrac{34}{40}\times\dfrac{27}{51}$
$E=\dfrac{34\times27}{40\times51}$
$E=\dfrac{17\times2\times9\times3}{20\times2\times17\times3}$
$E=\dfrac{9}{20}$

$3.\quad F=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{4}\times\dfrac{2}{3}$
$F=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5\times2}{4\times3}$
$F=\dfrac{3\times3}{4\times3}-\dfrac{5\times2}{4\times3}$
$F=\dfrac{9}{12}-\dfrac{10}{12}$
$F=\dfrac{9-10}{12}$
$F=\dfrac{-1}{12}$

$4.\quad G=\dfrac{8}{21}\div\dfrac{4}{7}$
$G=\dfrac{8}{21}\times\dfrac{7}{4}$
$G=\dfrac{8\times7}{21\times4}$
$G=\dfrac{4\times2\times7}{7\times3\times4}$
$G=\dfrac{2}{3}$