Examinons les techniques de calcul littéral relatives à la multiplication et la division, liées aux calculs sur les exposants.
I. Multiplication et division
1) Multiplication
Tout comme l’addition, la multiplication est une opération commutative et associative :
ab = ba et a(bc) = (ab)c
Pour multiplier des fractions entre elles, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
À noter
Rappelez-vous que a×cd=a1×cd=acd.
ab×cd=acbd
2) Division
À noter
Un nombre et son inverse ont le même signe.
La division se définit par rapport à la multiplication. Diviser par y revient à multiplier par son inverse (noté 1y). Pour tous nombres x et y, avec y ≠ 0, on a :
x÷y=x×1y
Remarque : 0 est le seul nombre à n’avoir pas d’inverse.
La division n’est pas associative.
En général on a : a ÷ (b ÷ c) ≠ (a ÷ b) ÷ c.
II. Puissances
À noter
Pour tout réel a, a0 = 1 et a1 = a.
On considère deux nombres a et b et deux entiers relatifs m et n. Alors, lorsque les opérations décrites ne conduisent pas à une division par 0 :
an × an = am + n anam=an–m (an)m = anm (ab)n = anbn (ab)n=anbn
Si a est un nombre non nul et n un entier relatif, on a :
a–1=1a et a–n=1an=(1a)n
Méthodes
1) Simplifier des fractions littérales
Soit a et b deux réels non nuls et non opposés. Simplifier : A = 1a+1b1+ab.
Conseils
Commencez par réduire le numérateur d’une part et le dénominateur d’autre part sous forme d’une seule fraction. Puis utilisez la multiplication par l’inverse.
Solution
A = 1a+1b1+ab=bab+aabbb+ab=b+aabb+ab=b+aab×ba+b=(a+b)bab(a+b)=1a.
2) Simplifier une expression littérale
Soit a, b, c trois réels non nuls vérifiant l’égalité ab + bc + ca = 0.
a. Démontrer que bc+ba=–1, puis que ca+cb=–1 et ab+ac=–1.
b. En déduire la valeur de b+ca+c+ab+a+bc.
Conseils
a. Divisez les deux membres de ab + bc + ca = 0 par ca, puis par ab, puis par bc.
b. Commencez par décomposer chacune des trois fractions en deux.
Solution
a. En divisant ab + bc + ca = 0 par ac, on trouve :ab+bc+caac=0ac⇔abac+bcac+caac=0⇔bc+ba+1=0⇔bc+ba=–1
En divisant ab + bc + ca = 0 par ab, on trouve de même ca+cb=–1.
En divisant ab + bc + ca = 0 par bc, on trouve ab+ac=–1.
b. b+ca+c+ab+a+bc=ba+ca+cb+ab+ac+bc=(ba+bc)+(ca+cb)+(ab+ac)
Donc d’après les égalités trouvées à la question
a : b+ca+c+ab+a+bc=–3.