La probabilité d’un événement A d’un univers fini Ω est la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent A. La probabilité de Ω est 1.
Pour tout événement A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
L’équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Dans ce cas, la probabilité d’un événement élémentaire est : 1nombre d’éléments de Ω
et pour tout événement A,
P(A)=nombre d’éléments de Anombre d’éléments de Ω=nombre de cas favorablesnombre de cas possibles.
Pour tous événements disjoints A, B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Pour tout événement A, P(A¯)=1−P(A). En particulier P(Ø) = 0.
Pour tous événements A, B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Exemple
Une enquête, concernant l’hygiène alimentaire, a été réalisée sur un échantillon de 800 personnes. Les personnes sont réparties en trois groupes.
Type 1 : les végétariens ; type 2 : les végétariens qui mangent néanmoins du poisson ; type 3 : les non-végétariens. La répartition des personnes est donnée dans le tableau suivant.On choisit, au hasard, une des 800 personnes de l’échantillon, chacune ayant la même probabilité d’être choisie. On définit les événements suivants :
A : « La personne choisie est non végétarienne » ;
B : « La personne choisie est un homme ».
Il y a équiprobabilité des tirages donc, d’après un résultat rappelé ci-dessus, P(A)=634800 ;
P(A) = 0,7925 ; P(B)=360800 ; P(B) = 0,45.
A ∩ B est l’événement : « La personne choisie est un homme non végétarien ».
P(A∩B)=321800=0,40125.
A ∪ B est l’événement : « La personne choisie est non végétarienne ou est un homme ».
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) ; P(A ∪ B) = 0,79250 + 0,45000 – 0,40125 ;
P(A ∪ B) = 0,84125.
