I. Transformation d’une expression
Propriété
Étant donné deux points A et B et leur milieu I, on a :
→MA⋅→MB=MI2−14AB2
Démonstration
Soient A et B deux points et I le milieu de [AB] :
→MA⋅→MB=(→MI+→IA)⋅(→MI+→IB).
Or, comme I est le milieu, on a : →IB=−→IA.
Donc : →MA⋅→MB=(→MI+→IA)⋅(→MI−→IA).
En développant : →MA⋅→MB=∣∣→MI∣∣2−∣∣→IA∣∣2.
Or, IA=AB2, donc : →MA⋅→MB=MI2−AB24.
Un exemple
Déterminer l’ensemble des points M tels que →MA⋅→MB=2, où A et B sont tels que AB=8.
Solution :
L’équation donnée s’écrit : MI2−AB24=2.
Ce qui donne : MI2=2+16.
Donc : MI2=18.
L’ensemble des points M est donc le cercle de centre I (le milieu de [AB]) et de rayon √18=3√2.
II. Cercle
Propriété
Étant donné deux points A et B, l’ensemble des points M du plan tels que :
→MA⋅→MB=0 est le cercle de diamètre [AB].
Démonstration
On a : →MA⋅→MB=0⇔MI=IA.
Ce qui signifie que les points M sont situés sur le cercle de centre I et de rayon IA=AB2.
III. Des applications
Dans chaque cas, déterminons l'ensemble des points M vérifiant l'égalité :
a) MA−MB=0
⟺MA=MB
L'ensemble des points M forme la médiatrice de [AB]
b) →AB⋅→AM=0
⟺→AB⊥→AM
L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par A
c) →MA⋅→MB=0;.
→MA⋅→MB=0⟺M=A ou M=B ou ^AMB=90°
L'ensemble des points M est le cercle de diamètre [AB]
Une autre démonstration peut être proposée, en introduisant I, milieu de [AB] :
→MA.→MB=0⟺(→MI+→IA).(→MI+⃗IB)=0
→MA.→MB=0⟺(→MI+→IA).(→MI−→IA)=0
→MA.→MB=0⟺MI2−IA2=0
⟺IM=IA
On obtient bien entendu la même conclusion : l'ensemble des points M est le cercle de centre I et de rayon IA.
d) MA2+MB2=a pour tout a>0
On introduit le milieu I du segment [AB] :
MA2+MB2=(→MI+→IA)2+(→MI−→IA)2
En développant, les doubles-produits se neutralisent et on obtient :
MA2+MB2=2MI2+AB22
MA2+MB2=a⟺2MI2+AB22=a
⟺MI2=2a−AB24
∘ Si 2a−AB24<0, l'équation n'aura pas de solution. L'ensemble des points M est l'ensemble vide.
∘ Si 2a−AB24>0, alors MI=√2a−AB22
L'ensemble des points M représente le cercle de centre I et de rayon √2a−AB22
∘ Si a2a−AB24=0, l'ensemble des points M est réduit au point I.
e) MA2−MB2=a pour tout a réel.
Même technique que pour le d) , on introduit le point I milieu de [AB].
On obtient alors :
(→MI+→IA)2−(→MI+→IB)2=a
En utilisant l'identité remarquable →u2−→v2=(→u−→v)⋅(→u+→v) :
⟺(→MI+→IA−→MI−→IB)⋅(→MI+→IA+→MI+→IB)=a
⟺2→BA⋅→MI=a
⟺→BA⋅→MI=a2
Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB).
⟺→BA⋅→HI=a2
L'ensemble des points M tels que MA2−MB2=a est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point H de (AB) tel que →BA⋅→HI=a2.