Annales - Sujet complet : E3C sujet zéro corrigé (2020)

INTÉRÊT DU SUJET - Le corps humain, un véritable laboratoire de physique combiné à une petite usine chimique : un lieu idéal pour ce sujet qui passe de nos yeux à nos globules rouges. Regardons de près la physique de l’hypermétropie pour y voir clair ! Et apprenons à doser l’hémoglobine pour que la chimie de nos vaisseaux sanguins transporte assez d’oxygène et nous assure une santé de fer !

Exercice 1

La correction de l’hypermétropie

De nombreux défauts de l’œil peuvent être corrigés avec des lunettes. Une vision non corrigée peut influer sur l’éducation d’une personne, son emploi, sa sécurité et sa qualité de vie.

L’objectif de cet exercice est d’étudier un défaut visuel, sa correction et les résultats d’une échographie oculaire.

Document 1 - Extrait d’une brochure disponible dans la salle d’attente d’un médecin ophtalmologiste

La lumière pénètre dans l’œil par la cornée, traverse le cristallin et l’humeur vitrée, puis arrive sur la rétine. Pour que l’image soit nette, il faut qu’elle se forme sur la rétine.

La myopie est une affection qui perturbe la vision d’objets éloignés qui sont alors flous, leur image se formant avant la rétine.

L’hypermétropie est une affection qui perturbe la vision d’objets proches qui sont alors flous, leur image se formant après la rétine.

Figure 1 - Schématisation de la structure interne de l'œil humain

D’après commons.wikimedia.org

Données

Relation de conjugaison pour une lentille mince : $\dfrac{1}{\overline{OA^\prime}}-~\dfrac{1}{\overline{OA^\prime}}=\dfrac{1}{f^\prime}$

où $f$ est la distance focale de la lentille, $O$ le centre optique de la lentille, $OA^\prime$ la distance lentille-image et $OA$ la distance lentille-objet.

Formule donnant le grandissement γ pour une lentille mince :

$y=\dfrac{\overline{{A^\prime}{B^\prime}}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{AO^\prime}}{\overline{OA}}$

La vergence d’une lentille est égale à l’inverse de sa distance focale ; elle est homogène à l’inverse d’une longueur (en mètres) et s’exprime en dioptries.

Partie 1 • Un défaut visuel : l’hypermétropie

Une élève de première constate, depuis quelques mois, qu’elle rencontre des difficultés pour voir correctement de près. Elle décide d’aller consulter un médecin ophtalmologiste afin de réaliser un bilan ophtalmologique.

1) Lors de sa visite chez le médecin ophtalmologiste, l’élève apprend qu’elle est hypermétrope. Cela est-il cohérent avec les informations présentes sur la brochure de la salle d’attente ?

2) Une lettre du texte inscrit sur la brochure est modélisée par un objet $AB$ de hauteur égale à $1,0~$cm situé à une distance de $25~$cm de l’œil. Dans cette situation, on modélise le cristallin de l’œil hypermétrope par une lentille mince convergente $L_{1}$ de centre optique $O$ et de distance focale $f_{1}=2,0~$cm.

a) Réaliser un schéma de l’image ${A^\prime}{B^\prime}$ de l’objet $AB$ à travers la lentille ($L_{1}$) en respectant les échelles suivantes :

- échelle horizontale $1/2$ : $1~$cm sur la figure représente $2~$cm en réalité ;

- échelle verticale $4/1$ : $1~$cm sur la figure représente $0,25~$cm en réalité.

b) Estimer, à l’aide de la construction géométrique, la taille de l’image ${A^\prime}{B^\prime}$. Commenter le résultat obtenu.

c) Déterminer, par un calcul, la position de l’image sur l’axe optique.

d) Pour cet œil hypermétrope, on estime que la rétine se situe à une distance de $2,0~$cm du cristallin. Expliquer qualitativement pourquoi, dans les conditions d’observation précédentes, le texte de la brochure peut être perçu comme flou par l’élève.

Partie 2 • Correction de l’hypermétropie

À la suite de sa visite chez le médecin, une paire de lunettes constituée de verres correcteurs est prescrite à l’élève. Le verre correcteur pour l’œil droit possède une vergence égale à $+~2,25~$dioptries.

Ph © Frédéric Hanoteau / Archives Hatier

Au cours d’une séance de travaux pratiques, l’élève souhaite, en utilisant le modèle de la lentille mince convergente, estimer la valeur de la distance focale de la lentille mince convergente modélisant ce verre correcteur. Pour cela, elle mesure la position de l’image formée par ce verre correcteur, extrait de sa monture, pour différentes positions d’un objet lumineux. Une photographie du dispositif expérimental et les résultats obtenus sont consignés ci-dessous.

1) En exploitant les résultats expérimentaux, déterminer au mieux la valeur de la distance focale de la lentille mince convergente modélisant ce verre correcteur. Commenter le résultat obtenu.

2) Expliquer qualitativement pourquoi ce verre correcteur permet de corriger ce défaut de vision.

Partie 3 • Échographie oculaire

L’échographie permet d’observer la structure de l’œil et de mesurer sa taille.

Les ions ferreux essentiels pour le transport du dioxygène dans le sang

Transportées par les globules rouges, les molécules d’hémoglobine assurent, par la circulation sanguine, l’apport du dioxygène aux différents organes des animaux vertébrés. L’hémoglobine est un assemblage de quatre sous-unités qui abritent chacune une structure chimique particulière nommée « hème ». Chaque hème contient un ion ferreux $\text{Fe}^{2+}$, responsable de la fixation d’une molécule de dioxygène.

Certains polluants ou toxines présents dans le sang peuvent oxyder les ions ferreux $\text{Fe}^{2+}$ en ions ferriques $\text{Fe}^{3+}$ qui n’ont pas la capacité de fixer le dioxygène. Il est donc important que l’élément fer de l’hème ne soit pas oxydé et reste sous la forme d’ion $\text{Fe}^{2+}$.

Dans cet exercice, on étudie d’abord l’oxydation des ions ferreux en ions ferriques. Ensuite, une méthode de dosage de l’hémoglobine dans le sang et le traitement d’une carence en fer sont abordés.

Partie 1 • Oxydation des ions ferreux

Une expérience est menée en laboratoire pour illustrer la capacité de l’ion permanganate à oxyder les ions ferreux.

Dans un bécher contenant $40~$mL d’une solution de sulfate de fer (II) $(\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}+\text{SO}_{4}~^{2-}~_{(aq)})$ de concentration en quantité de matière égale à $2,5\times10^{-1}$mol${\cdot}\text{L}^{-1}$, on introduit $20~$mL d’une solution aqueuse de permanganate de potassium $(\text{K}^{+}~_{(aq)}+\text{MnO}_{4}~^{-}~_{(aq)})$ de concentration en quantité de matière $1,0\times10^{-1}$mol${\cdot}\text{L}^{-1}$ contenant aussi des ions $\text{H}^{+}$. Les solutions avant mélange et après mélange ont été photographiées et figurent ci-dessous.

Données

La présence des espèces chimiques citées dans le tableau ci-dessous confère une coloration à une solution aqueuse.

Couples oxydant-réducteur :

• $\text{Fe}^{3+}~_{(aq)}/\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}$ ;
• $\text{MnO}_{4}~^{-}~_{(aq)}/\text{Mn}^{2+}~_{(aq)}$, dont la demi-équation électronique s’écrit : $\text{MnO}_{4}~^{-}~_{(aq)}+8\text{H}^{+}~_{(aq)}+5e^{-}=\text{Mn}^{2+}~{(aq)}+4\text{H}_{2}\text{O}_{(1)}$.

▶ 1. À l’aide des observations, montrer qu’une transformation chimique a bien eu lieu.

▶ 2. Identifier les oxydants et les réducteurs consommés et ceux qui sont produits.

▶ 3. On souhaite modéliser la transformation par une réaction oxydant-réducteur.

a) Écrire la demi-équation électronique du couple $\text{Fe}^{3+}~_{(aq)}/\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}$.

b) Vérifier que l’équation de la réaction oxydant-réducteur modélisant la transformation chimique s’écrit :

$\text{MnO}_{4}~^-~_{(aq)}+5\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}+8\text{H}^{+}~_{(aq)}{\rightarrow}\text{Mn}^{2+}~_{(aq)}+5\text{Fe}^{3+}~_{(aq)}+4\text{H}_{2}\text{O}_{(1)}$.

c) Justifier, à l’aide des données, que $\text{MnO}_{4}~^{-}~_{(aq)}$ et $\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}$ sont introduits en proportions stœchiométriques dans le mélange initial.

Cette modélisation de la transformation sert de support pour rédiger un programme en langage Python (voir ci-après). Ce programme permet de visualiser l’évolution des quantités de matière des ions permanganate et des ions ferreux dans le système précédent en fonction de l’avancement de la réaction noté $x$.

▶ 4. Indiquer la ligne du programme codant l’information correspondant à une transformation totale. Justifier.

▶ 5. Établir un tableau d’avancement de la réaction et vérifier que la valeur de l’avancement maximal est compatible avec le tracé de la figure 4.

Extrait du programme rédigé en langage Python

Figure 4 - Évolution des quantités de matière en fonction de l’avancement, calculée par le programme

▶ 6. Déduire du tableau d’avancement l’expression de la quantité de matière des ions $\text{Fe}^{3+}~_{(aq)}$ en fonction de l’avancement.

▶ 7. Écrire l’instruction permettant de calculer la quantité de matière de $\text{Fe}^{3+}~_{(aq)}$ pour une valeur d’avancement $x$ et proposer un numéro de ligne où elle pourrait être insérée dans le programme.

▶ 8. Reproduire la figure 4 et tracer l’évolution des quantités de matière d’ions $\text{Mn}^{2+}~_{(aq)}$ et $\text{Fe}^{3+}~_{(aq)}$.

Partie 2 • Dosage de l’hémoglobine et traitement d’une carence en fer

Quand l’organisme souffre d’une carence en fer, les hèmes contenus dans les globules rouges qui contiennent des ions $\text{Fe}^{2+}$ ne sont plus suffisamment nombreux. Le taux d’hémoglobine est alors trop faible pour assurer une oxygénation normale des organes. Un dosage du taux d’hémoglobine permet de diagnostiquer une éventuelle carence et de prescrire un traitement adapté aux besoins.

Document 3 - Principe du dosage de l’hémoglobine dans le sang par la « méthode de Drabkin »

Le réactif de Drabkin permet de transformer l’hémoglobine d’un échantillon de sang en cyanméthémoglobine. On réalise ensuite un dosage spectrophotométrique de la cyanméthémoglobine dans l’échantillon analysé.

Protocole simplifié du dosage :

- ajout de $5~$mL du réactif de Drabkin dans $20~{\mu}L$ d’échantillon de sang analysé ;

- mesure de l’absorbance $A$ de la solution obtenue, à une longueur d’onde de $546~$nm ;

- ajout de $5~$mL du réactif de Drabkin dans $20~{\mu}L$ d’échantillons de référence de concentrations connues en hémoglobine ;

- mesures d’absorbances et tracé d’une droite d’étalonnage (figure 5).

Figure 5

D’après www.studocu.com

Données

• Cercle chromatique

• Spectre d’absorption d’une solution aqueuse de cyanméthémoglobine

En cas de carence en fer chez les femmes, le traitement préconisé est un apport quotidien équivalent à $50~$mg d’ions $\text{Fe}^{2+}$ pour une carence légère et à $100~$mg pour une carence modérée. Chez les hommes, l’apport doit être de $100~$mg pour une carence légère et $200~$mg pour une carence modérée.

Source : rapport 2016 de l’Organisation mondiale de la santé (OMS)

• Extrait de l’étiquette du Timoférol, médicament pour traiter une carence en fer :

- comprimés pour traitement curatif ou préventif d’une carence en fer ;

- principe actif : fer sous forme de sulfate ferreux desséché ($\text{FeSO}_{4}$) ;

- composition : sulfate ferreux desséché $136,00~$mg par comprimé.

 ▶ 1. Prévoir la teinte d’une solution aqueuse de cyanméthémoglobine.

▶ 2. Expliquer le choix de la longueur d’onde de mesure d’absorbance.

▶ 3. Un échantillon de sang d’une femme est analysé par la méthode de Drabkin et l’absorbance mesurée est de $\text{A}=0,26$.

a) Indiquer si une carence en fer est diagnostiquée.

b) Proposer un traitement adapté en déterminant le nombre de comprimés à prescrire par jour.

Les clés du sujet

Exercice 1

Le lien avec le programme

Les conseils du correcteur

Aide à la résolution de la question 4 de la partie 3

Exercice 2

Le lien avec le programme

Les conseils du correcteur

Correction

Exercice 1

Partie 1. Un défaut visuel : l’hypermétropie

▶ 1. Extraire et confronter des informations

L’élève rencontre des difficultés pour voir correctement de près. Or, d’après la brochure de la salle d’attente, l’hypermétropie est un défaut de l’œil qui perturbe la vision d’objets proches. La conclusion du médecin est cohérente avec les informations de la brochure : l’élève est hypermétrope.

▶ 2. a) Dessiner l’image d’un objet à travers une lentille convergente

Attention

Pensez à orienter les rayons lumineux à l’aide d’une flèche dans le sens de propagation de la lumière.

b) Déterminer les caractéristiques de l’image à partir de la construction graphique

L’image $\text{A}{^\prime}\text{B}{^\prime}$ mesure $0,35~$cm de hauteur sur la figure. Or, d’après l’échelle verticale, $1~$cm sur la figure représente $0,25~$cm en réalité. Ainsi, la taille réelle de l’image est : $\text{A}{^\prime}\text{B}{^\prime}=\dfrac{0,35\times0,25}{1}=0,088~$cm.

La taille de l’objet est ${\overline{\text{AB}}}=1,0~$cm et la taille algébrique de l’image est ${\overline{\text{A}{\prime}\text{B}{\prime}}}=0,088~$cm.

Comme ${\text{A}{^\prime}\text{B}{^\prime}}\lt{\text{AB}}$, l’image est plus petite que l’objet. De plus, comme ${\overline{\text{AB}}}\gt{0}$ et ${\overline{\text{A}{^\prime}\text{B}{^\prime}}}\lt{0}$, l’image est renversée par rapport à l’objet.

c) Calculer la position de l’image

Pour déterminer la position ${\overline{\text{OA}{^\prime}}}$ de l’image sur l’axe optique, on utilise la relation de conjugaison : $\dfrac{1}{{\overline{\text{OA}{^\prime}}}}-{\dfrac{1} {\overline{\text{OA}}}}={\dfrac{1}{f{^\prime}_{1}}}$

d’où $\dfrac{1}{{\overline{\text{OA}{^\prime}}}}=\dfrac{1}{\overline{f_{1}{^\prime}}}+ \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$ avec $\overline{\text{OA}{^\prime}}=-25~$cm et $f_{1}{^\prime}=2,0~$cm.

Ainsi $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}^\prime}}=\dfrac{1}{2,0}+\dfrac{1}{-25}=0,46~$cm$^{-1}$ et donc $\overline{\text{OA}^\prime}=\dfrac{1}{0,46}=2,2~$cm : l’image ${{\text{A}{^\prime}}{\text{B}{^\prime}}}$ se situe $2,2~$cm après la lentille dans la réalité.

Le conseil de méthode

Cette question peut aussi être traitée en exploitant la formule du grandissement $\dfrac{\overline{\text{A}{^\prime}\text{B}{^\prime}}}{\overline{\text{AB}}}=\dfrac{\overline{\text{OA}{^\prime}}}{\overline{\text{OA}}}$.

On cherche à déterminer la position $\overline{\text{OA}^\prime}$ de l’image.

On écrit donc : $\overline{\text{OA}^\prime}=\dfrac{\overline{\text{A}{^\prime}\text{B}{^\prime}}{\times}\overline{\text{OA}}}{\overline{\text{AB}}}$.

Avec $\overline{\text{OA}}=-25~$cm, $\overline{\text{AB}}=+1,0~$cm et $\overline{\text{A}{^\prime}\text{B}{^\prime}}=-0,088~$cm, on obtient :

$\overline{\text{OA}^\prime}=\dfrac{-0,088{\times}(-25)}{1,0}=2,2~$cm

Néanmoins, cette méthode présente l’inconvénient d’utiliser les valeurs obtenues par la construction graphique, qui pourraient être fausses à la suite d’une erreur de construction.

d) Exploiter les conditions de formation d’une image nette

L’énoncé indique que la distance cristallin-rétine de cet œil hypermétrope est égale à $2,0~$cm. Pour que l’image se forme de façon nette sur la rétine, la position de l’image doit donc être égale à $\overline{\text{OA}^\prime}=2,0$ cm.

Or, d’après la question précédente, on a $\overline{\text{OA}^\prime}=2,2$ cm : l’image nette se forme donc $0,2~$cm après la rétine. Ainsi, le texte de la brochure est vu flou par l’élève.

Partie 2. Correction de l’hypermétropie

▶ 1. Déterminer la valeur de la distance focale d’une lentille convergente à partir de mesures expérimentales

Pour les cinq valeurs de positions de l’objet, on applique la relation de conjugaison pour déterminer la distance focale $f^\prime$ correspondante. Puis, on estimera la valeur de la distance focale en calculant la valeur moyenne.

On a : $\dfrac{1}{\overline{OA}^\prime}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f^\prime}$ soit $\dfrac{1}{f^\prime}=\dfrac{1}{\overline{OA}^\prime}-\dfrac{1}{\overline{OA}}$.

1) $\dfrac{1}{f^\prime}=\dfrac{1}{1,11}-\dfrac{1}{-0,71}=\dfrac{1}{1,11}+\dfrac{1}{0,71}=2,31~$m$^{-1}$ d’où $f^\prime=0,433~$m$$.

2) $\dfrac{1}{f^\prime}=\dfrac{1}{1,02}-\dfrac{1}{-0,76}=\dfrac{1}{1,02}+\dfrac{1}{0,76}=2,30~$m$^{-1}$${\mathrm{}}^{}$ d’où $f^\prime=0,435~$m$$.

3) $\dfrac{1}{f^\prime}=\dfrac{1}{0,87}-\dfrac{1}{-0,86}=\dfrac{1}{0,87}+\dfrac{1}{0,86}=2,31~$m$^{-1}$${\mathrm{}}^{}$ d’où $f^\prime=0,433~$m$$.

4) $\dfrac{1}{f^\prime}=\dfrac{1}{0,82}-\dfrac{1}{-0,90}=\dfrac{1}{0,82}+\dfrac{1}{0,90}=2,33~$m$^{-1}$${\mathrm{}}^{}$ d’où $f^\prime=0,429~$m$$.

5) $\dfrac{1}{f^\prime}=\dfrac{1}{0,69}-\dfrac{1}{-1,01}=\dfrac{1}{0,69}+\dfrac{1}{1,01}=2,44~$m$^{-1}$${\mathrm{}}^{}$ d’où $f^\prime=0,410~$m$$.

La valeur moyenne de la distance focale est donc :

$f=\dfrac{0,433+0,435+0,433+0,429+0,410}{5}=0,428~$m.

D’après l’énoncé, la vergence du verre correcteur est de $+2,25~$dioptries. La distance focale de cette lentille est égale à l’inverse de sa vergence soit $f^\prime=\dfrac{1}{2,25}=0,444~$m. On en déduit que la valeur de la distance focale de la lentille mince convergente modélisant ce verre correcteur déterminée expérimentalement est bien en accord avec la valeur de la vergence de ce verre, aux incertitudes de mesure près.

▶ 2. Expliquer l’intérêt du verre correcteur prescrit

Ce verre correcteur est une lentille convergente. L’ensemble {verre + œil} est ainsi plus convergent que l’œil hypermétrope sans correction. Les rayons lumineux vont donc désormais converger sur la rétine : le texte sera vu net.

Partie 3. Échographie oculaire

▶ 1. Identifier une catégorie d’ondes

Les ondes ultrasonores utilisées sont des ondes mécaniques.

▶ 2. Calculer une longueur d’onde

La période temporelle $T$ et la longueur d’onde $\lambda$ sont liées à la célérité $\nu$ par la relation $<em></em>\nu=\dfrac{\lambda}{T}$$\frac{}{}$. Or, la fréquence $f=\dfrac{1}{T}$$\frac{}{}$ donc $\nu=\lambda{\times}f$.

Ainsi, puisque l’énoncé nous indique que $\nu=1~532~$m${\cdot}s^{-1}$ dans l’humeur vitrée, et que la fréquence des ultrasons est $f=10~$MHz$=10\times10^{6}~$Hz, on exprime la longueur d’onde $\lambda$ des ultrasons en fonction de ces grandeurs : $\lambda=\dfrac{v}{f}$$\frac{}{}$, d’où $\lambda=\dfrac{1~532}{10\times10^{6}}=1,5\times10^{-4}~$m.

▶ 3. Schématiser le parcours d’ondes réfléchies

On considère l’arrivée d’une onde ultrasonore incidente à la surface de la cornée enduite de gel. Cette onde se propage dans les différents milieux rencontrés et sera réfléchie par les différentes interfaces :

- la face arrière de la cornée (pas de réflexion sur la face avant à cause du gel) ;

- la face avant du cristallin ;

- la face arrière du cristallin ;

- la surface de la rétine.

Chaque interface provoquant la réflexion de l’onde, on constate donc la présence de 4 réflexions ce qui justifie l’apparition de 4 échos.

▶ 4. Déterminer la longueur axiale de l’œil

En exploitant les durées de réception des échos réfléchis par les différentes interfaces et les célérités des ultrasons dans les différents milieux, il faut déterminer, pas à pas, l’épaisseur de chaque milieu pour en déduire la longueur axiale de l’œil étudié.

Étape 1 : détermination de l’épaisseur de la cornée

Attention

Cette question est une petite résolution de problème. Présentez un raisonnement en plusieurs étapes. Rédigez de façon claire et justifiez chaque étape.

On note $e_{\text{cornée}}$ l’épaisseur de la cornée. Pendant la durée ${\Delta}t_{\text{cornée}}=0,6~{\mu}s$ nécessaire à la réception de l’écho (dû à la réflexion de l’onde sur la paroi arrière de la cornée), l’onde ultrasonore parcourt un aller-retour donc la distance $2e_{\text{cornée}}$ à la célérité $v_{\text{cornée}}=1~620~$m$~\cdot~$s$^{-1}$.

On peut donc écrire que $2e_{\text{cornée}}=v_{\text{cornée}}{\times}{\Delta}t_{\text{cornée}}$ d’où :

$e_{\text{cornée}}=\dfrac{v_{\text{cornée}}\times{\Delta}t_{\text{cornée}}}{2}=\dfrac{1~620\times0,6\times10^{-6}}{2}=5\times10^{-4}$m$~=0,5$ mm.

Étape 2 : détermination de l’épaisseur des autres milieux

On procède de la même manière pour les autres milieux sachant que la durée de propagation doit être déterminée pour chaque milieu en soustrayant la durée nécessaire à la propagation dans le ou les milieux précédent(s).

On a ${\Delta}t_{\text{cornée}}=0,6~{\mu}s$.

On peut écrire ${\Delta}t_{\text{humeur aqueuse}}=3,6-0,6=3,0{\mu}s$. Et de même :

${\Delta}t_{\text{cristallin}}=9,2-3,6=5,6{\mu}s$ et ${\Delta}t_{\text{humeur vitrée}}=27,0-9,2=17,8{\mu}s$.

On peut alors calculer les différentes épaisseurs :

$e_{\text{humeur aqueuse}}=\dfrac{v_{\text{humeur aqueuse}} \times{\Delta}t_{\text{humeur aqueuse}}}{2}$

Ainsi, $e_{\text{humeur aqueuse}}=\dfrac{1~532 \times 3,0 \times 10^{-6}}{2}=2,3 \times 10^{-3}~$m$~2,3~$mm

$e_{\text{cristallin}}=\dfrac{{v_{\text{cristallin}} \times {\Delta}t_{\text{cristallin}}}}{2}=\dfrac{1~641 \times 5,6 \times 10^{-6}}{2}=4,6~$mm

$e_{\text{humeur vitrée}}=\dfrac{v_{\text{humeur vitrée}} \times {\Delta}t_{\text{humeur vitrée}}}{2}=\dfrac{1~532\times17,8\times10^{-6}}{2}=13,6~$mm.

Étape 3 : calcul de la longueur axiale de cet œil

La longueur axiale $L$ de l’œil étudié est la somme de ces épaisseurs :

$L=e_{\text{cornée}}+e_{\text{humeur aqueuse}}+e_{\text{cristallin}}+e_{\text{humeur vitrée}}=21,0~$mm.

Étape 4 : conclusion

La longueur axiale $L$ de cet œil est inférieure à $22~$mm : cet œil est trop court ; il est hypermétrope.

Exercice 2

Partie 1. Oxydation des ions ferreux

▶ 1. Caractériser une évolution d’un système chimique

On peut constater un changement de coloration des solutions. Or, d’après les données, ces colorations sont dues à la présence de certains ions dans la solution. Par exemple, la coloration intense violacée a disparu ce qui tend à montrer que les ions responsables de cette coloration ne sont plus présents et que, par conséquent, ils se sont transformés.

▶ 2. Identifier les oxydants et les réducteurs

La question est double : il faut à la fois identifier les réactifs et les produits de la réaction, mais aussi les oxydants et les réducteurs.

L’ion permanganate $\text{MnO}_{4}~^{-}$ a été introduit et n’est plus présent (d’après la coloration de la solution obtenue) : il fait donc partie des réactifs.

Attention

L’écriture des couples oxydant-réducteur se fait toujours dans le même ordre : oxydant/réducteur.

D’après les données, ces ions sont des oxydants car ils font partie du couple $\text{MnO}_{4}~^{-}/\text{Mn}^{2+}$. Ils doivent donc avoir réagi avec une espèce réductrice, or la seule qui soit mentionnée dans les données est l’ion ferreux $\text{Fe}^{2+}$. Et effectivement, ces ions $\text{Fe}^{2+}$ sont introduits dans le mélange réactionnel initial.

Ainsi, les réactifs sont les ions permanganate et les ions ferreux, $\text{MnO}_{4}~^{-}$ et $\text{Fe}^{2+}$, respectivement oxydant et réducteur, et les produits de cette réaction sont les ions manganèse(II) $\text{Mn}^{2+}$ et ferrique $\text{Fe}^{3+}$, respectivement réducteur et oxydant.

▶ 3. a) Écrire une demi-équation électronique

La demi-équation électronique est $\text{Fe}^{3+}~_{(aq)}+\text{e}^{-}=\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}$.

b) Vérifier l’équation d’oxydoréduction proposée

On a les deux demi-équations électroniques suivantes :

$\text{Fe}^{3+}~_{(aq)}+\text{e}^{-}=\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}$
$\text{MnO}_{4}~^{-}~_{(aq)}+8\text{H}^{+}~_{(aq)}+5\text{e}^{-}=\text{Mn}^{2+}~_{(aq)}+4\text{H}_{2}\text{O}_{(1)}$${}_{}$

La réaction considérée fait réagir les ions $\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}$${}_{}$ donc il faut inverser la première demi-équation pour qu’elle soit dans le « bon sens », c’est-à-dire dans celui de la réaction se produisant dans les béchers.

De plus, il faut que le transfert d’électron soit identique pour les oxydants et pour les réducteurs, c’est-à-dire qu’il faut autant d’électrons cédés par les ions $\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}$${}_{}$ que d’électrons acceptés par les ions $\text{MnO}_{4}~^{-}~_{(aq)}.</p><p>Il faut donc, ici, multiplier la première demi-équation par 5 (et la seconde par 1). </p><p>Ainsi :</p><p>$\text{Fe}^{2+}_{(aq)}=\text{Fe}^{3+}_{(aq)}+e^{-} \times 5$<br /><br />$\dfrac{\text{MnO}_{4}~^{-}~_{(aq)} + 8\text{H}^{+}~_{(aq)} + 5e^{-} = \text{Mn}^{2+}_{(aq)} + 4\text{H}_{2}\text{O}_{(1)}}{\text{MnO}_{4}~^{-}~_{(aq)} + 8\text{H}^{+}~_{(aq)} + 5\text{Fe}^{2+}~_{(aq)} = \text{Mn}^{2+}~_{(aq)} + 5\text{Fe}^{32+}~_{(aq)} + 4\text{H}_{2}\text{O}_{(1)}}$<br /></p><p>Ce qui correspond effectivement à l’équation de réaction proposée.</p><div class="postit fabrication"><h5>Le conseil de méthode</h5><p>Voici la méthode pour équilibrer une demi-équation électronique :</p><p></p>1) Repérer l’oxydant et le réducteur du couple<br /><br />(c’est facile : l’oxydant est à droite dans le couple$\text{Ox}/\text{Red}$)<br /><br />2) Écrire la demi-équation$\text{Ox}+\text{e}^{-}=\text{Red}$<br /><br />(les électrons sont toujours du côté de l’oxydant)<br /><br />3) Équilibrer l’élément principal<br /><br />(c’est-à-dire égaler le nombre à gauche et à droite du signe « = »)<br /><br />4) Équilibrer l’élément « oxygène » avec des molécules d’eau<br /><br />5) Équilibrer l’élément « hydrogène » avec des ions$\text{H}^{+}$<br /><br />6) Équilibrer les charges électriques avec les électrons.<p></p></div><p><b>c) Justifier les conditions stœchiométriques d’une réaction</b></p><p></p><p>Les proportions stœchiométriques sont données par l’équation de réaction : ce sont les nombres stœchiométriques qui sont devant les réactifs. Ici on doit donc introduire cinq fois plus d’ions ferreux$\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}$que d’ions permanganate$\text{MnO}_{4}~^{-}~_{(aq)}$.</p><p>Il faut donc vérifier que :</p><p>$5{\times}\text{n}_{i}(\text{Fe}^{2+}~_{(aq)})=\text{n}_{i}(\text{MnO}_{4}~^{-}~_{(aq)}~①$</p><p>Calculons la quantité initiale d’ion permanganate en multipliant la concentration et le volume ($\text{n}=\text{C}{\times}\text{V}$) :</p><p>$\text{n}_{i}(\text{MnO}_{4}~^{-}~_{(aq)})=1,0\times10^{-1}\times20\times10^{-3}=2,0\times10^{-3}~$mol.</p><p>De même, pour les ions ferreux :</p><p>$\text{n}_{i}(\text{Fe}^{2+}~_{(aq)})=2,5\times10^{-1}\times40\times10^{-3}=1,0\times10^{-2}~$mol.</p><p>On a donc bien l’égalité $①$ recherchée : les réactifs sont bien introduits dans les proportions stœchiométriques.</p><p></p><div class="postit fabrication"><h5>Le conseil de méthode</h5><p></p>On peut trouver une « formule » pour les conditions stœchiométriques : il s’agit de l’égalité des quantités de matières à l’état initial divisées chacune par leur nombre stœchiométrique.<br /><br /><i>Cas général</i>. Pour une équation de réaction de type$\text{aA}+\text{bB}{\rightarrow}\text{cC}+\text{dD}$, les conditions stœchiométriques imposent :$\dfrac{n_{i}(\text{A})}{\text{a}}=\dfrac{n_{i}(\text{B})}{\text{b}}$.<br /><br /><i>Ici</i>, cela donne :$\dfrac{n_{i}(\text{MnO}_{4}~^{-}_{(aq)})}{1}=\dfrac{n_{i}(\text{Fe}^{2+}~_{(aq)})}{5}$et on retrouve bien la relation $①$.<p></p></div><p><b>▶ 4. Identifier l’action d’une ligne de programme PYTHON</b></p><p>Il s’agit de la ligne 20<br /><br /><img src="https://diy7ta1tt6jst.cloudfront.net/prod/okulus/973a8d5d-8a51-471d-bdec-69e6d70da9ad" alt="973a8d5d-8a51-471d-bdec-69e6d70da9ad" /><br /></p><p>qui indique que le programme qui suit doit se poursuivre jusqu’à ce que l’une des quantités des deux réactifs soit nulle, ce qui correspond à l’avancement maximal donc à une réaction totale.</p><p><b>▶ 5. Déterminer l’avancement maximal à l’aide d’un tableau d’avancement</b></p><p><img src="https://diy7ta1tt6jst.cloudfront.net/prod/okulus/e8c52023-e5f3-4822-a937-e9d2b136dd73" alt="e8c52023-e5f3-4822-a937-e9d2b136dd73" /><br /></p><blockquote><p><b>Attention</b></p><p>N’oubliez pas que<strong> </strong>l’avancement (maximal ou non) est toujours une quantité de matière donc un nombre de moles.</p></blockquote><p></p><p></p><p></p><p>Étant donné que nous sommes dans les ­conditions stœchiométriques, ­l’avancement maximal est atteint et les réactifs sont entièrement consommés. Donc$x_{\text{max}}=2,0\times10^{-3}~$mol.</p><p>On retrouve bien la valeur du tableau de la figure 4 pour l’avancement maximal :$x_{\text{max}}=2~$mmol.</p><p></p><p><b>▶ 6. Utiliser un tableau d’avancement</b></p><p>D’après le tableau précédent, pour les ions ferriques$\text{Fe}^{3+}~_{(aq)}$, la quantité de matière est$n(\text{Fe}^{3+}~_{(aq)})=5x$.</p><p><b>▶ 7. Écrire une instruction en langage Python pour effectuer une action</b></p><blockquote><p><b>À noter</b></p><p>Ce sont surtout les « points de départ » (à zéro) et les valeurs finales qui seront regardés par le correcteur.</p></blockquote><p>La ligne à ajouter peut être placée n’importe où entre la ligne 22 et la ligne 27.</p><p>On pourra écrire par exemple :</p><p>« n_Ferrique.append((ni_Ferrique + 5*x)) »</p><p><b>▶ 8. Représenter l’évolution d’une quantité de matière</b></p><p></p><p><img src="https://diy7ta1tt6jst.cloudfront.net/prod/okulus/9d2c580d-0ff7-4b62-8c31-9c3721b96fba" alt="9d2c580d-0ff7-4b62-8c31-9c3721b96fba" /></p><p>​<br /></p><h4>Partie 2. Dosage de l’hémoglobine et traitement d’une carence en fer</h4><p><b>▶ 1. Déduire une coloration à partir d’un spectre d’absorption</b></p><blockquote><div class="PostIt"><p><b>À noter</b></p></div><div class="PostIt"><p>Une solution paraît de la couleur ­complémentaire à celle absorbée.</p></div></blockquote><p>Le spectre d’absorption d’une solution aqueuse de cyanméthémoglobine fourni dans les données permet de constater que cette solution admet une absorption maximale autour de$550~$nm de longueur d’onde. D’après le cercle chromatique, cela signifie que la solution absorbe nettement les teintes jaunes-vertes : la solution paraitra donc de la couleur complémentaire à cette absorption, c’est-à-dire « rouge-violette ».</p><p>On peut néanmoins remarquer que le spectre d’absorption fourni ne donne pas d’information pour l’ensemble des longueurs d’onde du visible puisqu’il ne commence qu’à$500~$nm, or cela pourrait modifier la teinte envisagée.</p><p><b>▶ 2. Justifier le réglage d’un spectrophotomètre</b></p><p>On règle le spectrophotomètre sur$546~$nm de longueur d’onde car il s’agit de la longueur d’onde pour laquelle l’absorption de la cyanméthémoglobine est maximale or c’est la quantité de cette substance que l’on cherche à déterminer.</p><p><b>▶ 3.</b></p><p><b> a)</b><b> Utiliser une courbe d’étalonnage</b></p><p>D’après la courbe d’étalonnage (figure 5), on détermine la concentration en hémoglobine de l’échantillon de sang prélevé :$1,4~$mmol${\cdot}$L$^{-1}$</p><p><img src="https://diy7ta1tt6jst.cloudfront.net/prod/okulus/295a5f29-1df4-4eb4-b8df-a65bd93a01d9" alt="295a5f29-1df4-4eb4-b8df-a65bd93a01d9" /><br /></p><p></p><p></p><p>Il s’agit d’une concentration en quantité de matière (ou concentration molaire) or les données disponibles pour déterminer s’il y a une carence en fer sont en concentration en masse (ou concentration massique). Il faut donc calculer cette concentration en masse. On sait que la concentration en masse$C_{m}$est le produit de la concentration en quantité de matière$C$et de la masse molaire$M~:~C_{m}=C \times M$.</p><blockquote><div class="postit fabrication"><h5>Le conseil de méthode</h5></div><div class="postit fabrication"><p>Vous pouvez retrouver cette formule grâce aux unités de chaque grandeur : la concentration en masse est en g$~\cdot~$mol$~^{-1}$, celle en quantité de matière en mol$~\cdot{\text{L}}^{-1}$et la masse molaire g$~\cdot~$mol$~^{-1}$donc$C \times M{\leftrightarrow}\dfrac{\text{mol}}{\text{L}}\times\dfrac{\text{g}}{\text{mol}}=\dfrac{\text{g}}{\text{L}}{\leftrightarrow}C_{m}$.<math><mrow><msub><mi></mi></msub></mrow></math></p></div></blockquote><div class="postit fabrication"><p>Pour$C=1,4\times10^{-3}~$mol$~{\cdot}~\text{L}^{-1}$d’hémoglobine ($M=64\times10^{3}~$g$~\cdot~$mol$^{-1}$),$C~{\times}~M=1,4\times10^{-3}\times64\times10^{3}=89,6$.</p></div><blockquote><p><b>Attention</b></p><p>Respectez la précision des données : veillez à écrire les résultats avec un nombre correct de chiffres significatifs.</p></blockquote><p></p><p>Ainsi, en tenant compte du nombre de chiffres significatifs à indiquer ici, la concentration en masse en hémoglobine est$C_m=90~$g$~\cdot{\text{L}^{-1}}$.</p><p>D’après les données fournies, on peut diagnostiquer une carence modérée en fer puisque le taux d’hémoglobine par litre de sang est compris entre$70$et$100~$g$~\cdot{\text{L}^{-1}}$1.</p><p></p><p><b>b) Analyser des documents scientifiques</b></p><p></p><p>D’après le rapport de l’OMS de 2016, il est préconisé un apport de$100~$mg par jour pour traiter cette carence modérée.</p><p>Étant donné que le médicament se présente sous la forme de comprimés contenant chacun$136~$mg de sulfate ferreux desséché, il nous faut savoir quelle masse d’ions ferreux$\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}$contiennent ces$136~$mg de sulfate ferreux desséché.</p><p>Le sulfate ferreux desséché a pour formule brute$\text{FeSO}_{4}$, donc 1 mole de sulfate ferreux contient 1 mole d’ion ferreux$\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}$.</p><p>Calculons alors le nombre de moles de sulfate ferreux dans$136~$mg, ce qui nous donnera celui des ions ferreux$\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}$(et il restera à en calculer la masse) :</p><p>$n(\text{FeSO}_{4})=\dfrac{m(\text{FeSO}_{4})}{M(\text{FeSO}_{4})}=\dfrac{136\times10^{-3}}{M(\text{Fe})+M(\text{S})+4\times{M(\text{O})}}=\dfrac{136\times10^{-3}}{151,8}=9,0\times10^{-4}~$mol</p><p><br /></p><blockquote><p><b>À noter</b></p><p>Nous supposons que la masse molaire des ions $\text{Fe}^{2+}$est la même que celle des atomes de fer$\text{Fe}$car la masse des 2 électrons « manquants » est négligeable par rapport à celle de l’atome neutre, entouré de tous ses électrons.</p></blockquote><p>Ainsi, la masse d’ions ferreux contenue dans un comprimé est :<br /><br />$m(\text{Fe}^{2+}~_{(aq)})=n(\text{Fe}^{2+}~_{(aq)}){\times}M(\text{Fe}^{2+}~_{(aq)})=n(\text{FeSO}_{4}){\times}M(\text{Fe})=5,0\times10^{-4}~$gr$~=50~$mg<br /><br />Il faudrait donc prescrire$2~$comprimés par jour à cette femme puisqu’elle doit avoir un apport de$100~$mg quotidien.</p><p><br /><b>Le conseil de méthode</b><br /></p><p>Il ne faut pas utiliser de résultat approché dans un calcul.</p><p>Ici, il ne faut pas faire le calcul final avec la valeur$9,0\times10^{-4}~$mol, mais avec le résultat le plus proche donné par votre calculatrice :$8,959~156~785\times10^{-4}~$mol (ou utiliser la mémoire de votre calculatrice !).