Suites numériques : récurrences

Légende de la leçon

Vert : définitions

I. Définition d'une suite numérique par récurrence

Une suite numérique par récurrence est une séquence de nombres où chaque terme est défini en fonction des termes précédents. Cette définition se compose de deux éléments principaux :

1. Terme initial : c'est le point de départ de la suite. Par exemple, si on déclare $u_0 = a$, cela signifie que le premier terme de la suite, noté $u_0$, vaut $a$, où $a$ est un nombre réel spécifique.
2. Relation de récurrence : c'est une formule qui relie chaque terme de la suite à ses prédécesseurs. Généralement, elle est de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$, où f est une fonction définie sur les nombres réels.

Considérons la suite $(u_n)$ définie par :

• Terme initial : $u_0=2$
• Récurrence : $u_{n+1} = 3 u_{n+1}$

Dans cet exemple, chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par $3$ et en ajoutant $1$. Par exemple, $u_1 = 3 \times 2 + 1 = 7$, $u_2 = 3 \times 7 + 1 = 22$, et ainsi de suite.

II. Propriétés et comportement

• Sens de variation : on peut étudier si la suite est croissante, décroissante ou ni l'un ni l'autre.
• Convergence ou divergence : on analyse si la suite tend vers une limite ou s'éloigne indéfiniment.
• Limites : si la suite converge, on cherche la valeur vers laquelle elle tend.

Analysons la suite définie par :

• Terme initial : $u_0 = 1$
• Récurrence : $u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{2}{u_n})$

Cette suite est particulièrement intéressante car elle converge vers la racine carrée de $2$. En effet, chaque terme se rapproche de plus en plus de $\sqrt{2}$.

III. Technique de résolution

• Forme explicite : dans certains cas, il est possible de transformer la relation de récurrence en une formule directe, où $u_n$ est exprimé en fonction de $n$ uniquement.
• Preuve par récurrence : cette méthode est utilisée pour prouver des propriétés sur l'ensemble des termes de la suite.

Je retiens

Les suites numériques sont des séquences ordonnées de nombres.

L'analyse de ces suites nécessite une compréhension de leur comportement global, notamment en termes de convergence et de variation.