Suites numériques : convergence et limites

Légende de la leçon

Vert : définitions

Définition d’une suite numérique

Une suite numérique est une séquence de nombres ordonnée de telle manière que chaque nombre est associé à un indice entier. Elle est souvent notée $u_n$, où $n$ représente l'indice de l'élément dans la suite.

I. Limites d’une suite

1) Limite finie

La suite $(u_n)$ converge vers $l \in \mathbb{R}$ si, pour tout nombre positif $\epsilon$, il existe un indice $N$ tel que pour tout $n \geq N$, la différence absolue entre $u_n$ et $l$ est inférieure à $\epsilon$, c'est-à-dire \vert u_n - l \vert < \epsilon.

2) Limite infinie

La suite $(u_n)$ tend vers l'infini (soit $+\infty$ ou $-\infty$) si les termes deviennent arbitrairement grands (positivement ou négativement) au fur et à mesure que $n$ augmente.

II. Critères de convergence

1) Suite monotone

Une suite est dite monotone si elle est soit toujours croissante, soit toujours décroissante. Si une telle suite est également bornée (c'est-à-dire, qu'elle a une valeur supérieure ou inférieure fixe), elle est convergente.

2) Théorème de Bolzano-Weierstrass

Chaque suite bornée (c'est-à-dire, dont les éléments ne dépassent pas certaines limites supérieures et inférieures) a au moins une sous-suite convergente.

III. Opérations sur les limites

• Limite d'une somme : Si $\text{lim}\,u_n = l$ et $\text{lim}\,v_n = m$, alors $\text{lim}\,(u_n + v_n) = l + m$.
• Limite d'un produit : Si $\text{lim}\,u_n = l$ et $\text{lim}\,v_n = m$, alors $\text{lim}\,(u_n \times v_n) = l \times m$.
• Limite d'un quotient : Si $\text{lim}\,u_n = l$ et $\text{lim}\,v_n = m \not= 0$, alors $\text{lim}\,(u_n / v_n) = l / m$.

IV. Types de suites particulières

1) Suite arithmétique

Dans une suite arithmétique, chaque terme est obtenu en ajoutant une raison constante $r$ au terme précédent. Ainsi, $u_n = u_0 + n \times r$.

2) Suite géométrique

Dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une raison constante $q$. Par conséquent, $u_n = u_0 \times qn$.

V. Exemples, applications et approfondissement

1. Suite arithmétique : Pour $u_0 = 2$ et $r = 3$, la suite est $u_n = 2 + 3n$.
2. Suite géométrique : Pour $u_0 = 1$ et $q = 2$, la suite est $u_n = 2^{n}$.

Approfondissement

• Suites adjacentes : deux suites sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et la différence entre leurs termes correspondants tend vers 0. Ces suites convergent vers la même limite.
• Critère de Cauchy : une suite est convergente si, pour tout \epsilon> 0, il existe un indice $N$ tel que pour tous les indices $m$, $n \geq N$, la différence \vert u_n - u_m \vert < \epsilon.

Je retiens

Les suites numériques sont des séquences ordonnées de nombres.

La convergence est déterminée par la proximité croissante des termes de la suite vers une valeur limite.

Les suites monotones et bornées sont convergentes.

La limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de suites peut être calculée.