Équation différentielle y' = ay + f

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Définition

Une équation différentielle est une équation mathématique qui lie une fonction inconnue à ses dérivées. Elle exprime une relation entre une fonction et ses dérivées par rapport à une ou plusieurs variables indépendantes.

On connaît la forme des solutions des équations différentielles y′=ay+f, selon la nature de f, ce qui n’est pas le cas pour la plupart des autres équations.

I. Équation différentielle y′=ay, a réel

Les solutions sur ℝ de l’équation différentielle y′=ay sont les fonctions de la forme :

x↦Cea x, où C est une constante réelle

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II. Équation différentielle y′=ay+b, a réel non nul, b réel

Les solutions sur ℝ de l’équation différentielle y′=ay+b sont les fonctions de la forme :

À noter

Lorsque b=0, on retrouve le cas précédent.

x↦Cea x−ba, où C est une constante réelle

III. Équation différentielle y′=ay+f, a réel non nul, f fonction continue

Si l’on connaît une solution particulière y0 sur un intervalle I de l’équation différentielle y′=ay+f, alors toutes les autres solutions sont de la forme :

À noter

Lorsque f est une fonction constante, on retrouve le cas précédent.

x↦Ceax+y0 où C est une constante réelle

Méthode

Résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+b

On considère l’équation différentielle E : 2y′+y=0.

1. Déterminer les solutions de E sur ℝ.

2. Déterminer la (ou les) solution(s) éventuelle(s) de E vérifiant la condition précisée dans chacun des cas suivants :

a. f1=1

b. f2=f12

c. limx→+∞fx=+ ∞

Conseils

1. On se ramène à la forme y′=ay+b ; c’est alors une question de cours.

2. Exprimez la contrainte par une condition sur la constante C de la solution générale.

Solution

1. y solution de E⇔y′=−12y. Donc S=x↦Ce−x2, C∈ℝ.

2. f est solution de E donc f est de la forme fx=Ce− x2 avec C∈ℝ.

a. f1=1⇔Ce− 12=1⇔C=e12. Donc l’unique fonction f solution de E vérifiant f1=1 est définie par f0x=e12×e− x2 et S=f0 : x↦e1−x2.

b. f(2)=(f(1))^2⇔Ce^{−1}=(Ce^{−\frac{1}{2}})^2

 ⇔Ce^{−1}=C^{2}e^{−1}

 ⇔C=C^2

 ⇔C−C^2=0

 ⇔C(C−1)=0

 ⇔C=0 ou C=1C=1

S=f0 : x↦0 ; f1 : x↦e−x2.

À noter

e−1≠0, on peut donc bien simplifier par e−1. En revanche, on ne sait rien de C. Il ne faut donc surtout pas « simplifier » par C dans d’égalité C=C2 (on remarque d’ailleurs que C=0 donne une solution).

c. On sait que limx→+∞e−x2=0. Donc quel que soit C, limx→+∞fx=0. Il n’y a donc pas de solution vérifiant la condition limx→+∞fx=+ ∞.