Définition et propriétés analytiques de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

I. Définition et notations

Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par :

pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[, ln x = y ⇔ x = e^y

Conséquences :

 Pour tout réel x strictement positif, e^ln x = x.

 Pour tout réel y, ln(e^y) = y.

On a en particulier : 

ln 1 = 0

 et 

ln e = 1.

Définition : Si u est une fonction strictement positive sur un intervalle I, on définit la fonction ln u par :

pour tout x ∈ I, (ln u)(x) = ln(u(x))

II. Propriétés analytiques

La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[, et pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ :

$(\ln x)'=\dfrac 1 x$

La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.

$\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x=+\infty$ 

Pour toute fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I, la fonction ln u et dérivable sur I, et on a :

$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$

III. Tableau de variations et courbe

À noter

Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

Conseils

Étape 1 Déterminez l’ensemble de définition de f.

Étape 2 Étudiez la dérivabilité de f et déterminez sa fonction dérivée.

Étape 3 Déduisez-en les variations de f sur son domaine de définition.

Étape 4 Étudiez les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

Étape 5 Dressez le tableau de variations de f.

 

Solution

Étape 1 La fonction ln est définie sur ]0 ; + ∞[. Or, pour tout réel x, e^-x > 0 donc 1 + e^-x > 0.

Donc f est définie sur ℝ.

Étape 2 f est dérivable sur ℝ car f est de la forme ln u avec u(x) = 1 + e^-x, strictement positive pour tout réel x et dérivable sur ℝ. Or $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$  avec $u'(x)=-\text e ^{-x}$ pour tout x ∈ ℝ.

Donc pour tout réel x, $f'(x)=\dfrac{-\text e^{-x}}{1+\text e ^{-x}}$ 

Étape 3 La fonction exponentielle est strictement positive, d’où $\dfrac{\text e^{-x}}{1+\text e ^{-x}}$ > $0$  et $f'(x)$<$0$ pour tout réel x.

Donc f est strictement décroissante sur ℝ.

Étape 4 On sait que $\lim\limits_{x\to -\infty}\text e^{-x}=\lim\limits_{X\to +\infty} \text e^X=+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to -\infty}\text e^{-x}=+\infty$. Or $\lim\limits_{X\to +\infty}\ln X=+\infty$, donc, par composition, $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$.

On sait que $\lim\limits_{x\to +\infty}\text e^{-x}=0$, donc $\lim\limits_{x\to + \infty}1+\text e^{-x}=1$.

Or $\lim\limits_{X\to 1}\ln X=\ln 1= 0$ donc, par composition, $\lim\limits_{x\to + \infty}f(x)=0$.

Étape 5