Utiliser diverses représentations d’un même nombre

Légende de la leçon

Vert : définitions.

I. Rappels de cours

1) Nombres entiers, décimaux et rationnels

 Un nombre entier est un nombre qui s’écrit sans décimales.

 Un nombre décimal est un nombre qui s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

 Un nombre rationnel (ou fraction) est un nombre qui peut s’écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et $b \neq 0$.

 Les nombres rationnels dont le dénominateur est $10$, $100$, $1~000$ $…$ sont appelés des fractions décimales.

Exemples :

$78$, $-613$ et $517$ sont des nombres rationnels.

$\dfrac{34}{10}$, $\dfrac{5}{1~000}$ et $-\dfrac{51}{100}$ sont des fractions décimales.

 Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut pas être simplifiée.

À noter
Tous les nombres ne sont pas rationnels ! Les nombres irrationnels sont les nombres que l’on ne peut pas écrire sous la forme d’une fraction, par exemple $2$ et $\pi$.

Exemples :

• $\dfrac{5}{11}$ est une fraction irréductible.
  

• En revanche, $\dfrac{15}{33}$ n’est pas une fraction irréductible
  
  (car $\dfrac{15}{33}=\dfrac{3 \times 5}{3 \times 11}=\dfrac{5}{11})$.

2) Puissances et racine carrée

 Soient $a$ un nombre non nul et $n$ un entier naturel positif.

Le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ se note $a^n$ (on dit « a puissance n ») :

$a^n= a \times a \times … \times a$ $n$ fois

$a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$. Donc $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.

Exemples :

• $10^3=10 \times 10 \times 10=1~000$ ;

• $5^3=5 \times 5 \times 5=125$ ;

• $10^{-2}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}=0,01$.

 Soit $a$ un nombre positif. La racine carrée du nombre $a$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$. On le note $a$.

Exemples :

• $\sqrt{25}=5$ ;

• $\sqrt{56,25}=7,5$.

3) Notation scientifique

Tout nombre positif $x$ peut s’écrire sous la forme : $x=a \times 10^n$

où $1 \leq a$ < $10$ et $n$ est un entier relatif.

Exemples :

• $2,7512 \times 10^2$ est l’écriture scientifique de $275,12$.

• $5,4 \times 10^{-3}$ est l’écriture scientifique de $0,0054$.

II. Méthodes

1) Écrire des nombres en notation scientifique

Écrire $C=0,00000543$, $D=432,65$ et $E=21,65 \times 10^3$ en notation scientifique.

Solution

$C=\dfrac{5,43}{1~000~000}=\dfrac{5,43}{10^6}$,

soit $C=5,43 \times 10^{-6}$ (rappel $\dfrac{1}{10^n}=10^{-n}$).

De même, $D=4,3265 \times 10^2$

et $E=2,165 \times 10^4$.

2) Passer d’une écriture décimale à une écriture fractionnaire, et inversement

a. Soit $A=\dfrac{7}{4}$. Donner une écriture décimale de $A$.

b. Soit $B=2,3$. Donner une écriture fractionnaire de $B$.

c. Soit $C=\dfrac{11}{3}$. Donner une écriture décimale de $C$.

Solution

a. $A=1,75$.      

b. $B=\dfrac{23}{10}$.

c. $C=\dfrac{11}{3} \approx 3,66666...$ Le nombre de chiffres après la virgule n’est pas fini, donc $C$ n’a pas d’écriture décimale.

3) Utiliser des puissances de 10

La distance de la Terre à la Lune est environ égale à $d_1=384~000~km$ et celle de la Terre au Soleil à environ $d_2=149~600~000~km$.

Donner l’écriture scientifique de ces deux distances.

Solution

$d_1=3,84 \times 10^5~km$ 

et $d_2=1,496 \times 10^8~km$.