Calculer avec des fractions

I. Rappels de cours

1) Règles de calcul sur les fractions

 Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, on les réduit au même dénominateur, puis on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

 Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

 Pour diviser deux fractions, on multiplie la fraction numérateur par l’inverse de la fraction dénominateur.

2) Règles de priorité

Dans une expression qui comporte plusieurs opérations, on effectue les calculs dans l’ordre suivant :

1. Commencer toujours par effectuer les calculs entre parenthèses (s’il en existe !).

2. Effectuer toujours les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

3. S’il n’y a que des additions et des soustractions, les effectuer dans l’ordre où elles sont indiquées.

S’il n’y a que des multiplications et des divisions, les effectuer dans l’ordre où elles sont indiquées.

Exemple : $B=(-\dfrac 34+\dfrac 14)\times \dfrac 12-\dfrac 58$, soit $B=-\dfrac 24\times \dfrac 12-\dfrac 58$ ou $B=-\dfrac 28-\dfrac 58=-\dfrac 78$.

3) Inverse, opposé

 Deux nombres sont opposés si leur somme est nulle.

Attention
Ne pas confondre l’opposé et l’inverse d’un nombre.

Exemples : $-5$ est l’opposé de $5$ ; $-\dfrac 13$ est l’opposé de $\dfrac 13$.

Deux nombres sont inverses si leur produit est 1.

Exemples : $\dfrac 15$ est l’inverse de $5$ ; $-\dfrac 13$ est l’inverse de $-3$.

II. Méthodes

1) Calculer avec des fractions

Soient les fractions $A=\dfrac 79$   $B=-\dfrac 27$   $C=\dfrac 53$   $D=-\dfrac {9}{14}$.

Calculer $E=A+B$   $F=D-C$   $G=A \times B$ et $H=\dfrac CD$.

Solution

• $E=\dfrac 79-\dfrac 27$, soit $E=\dfrac {49}{63}-\dfrac {18}{63}$ ou encore $E=\dfrac {31}{63}$.

• $F=-\dfrac {9}{14}-\dfrac 53$, soit $F=-\dfrac {27}{42}-\dfrac {70}{42}$ ou encore $F=-\dfrac {97}{42}$.

• $G=\dfrac 79\times \left(-\dfrac 27\right)$, soit $G=\dfrac {7\times (-2)}{9\times 7}$ ou encore $G=-\dfrac 29$.

• $H=\dfrac {\frac53}{-\frac {9}{14}}$, soit $H=\dfrac 53\times \left(-\dfrac {14}{9}\right)$ d’où $H=-\dfrac {70}{27}$.

2) Utiliser les règles de priorité

Soient les expressions $A=\left(2-\dfrac 32\right)\left(\dfrac 23-3\right)$ et $B = \dfrac {3}{10} + \dfrac 37\text{ ÷ }\dfrac {5}{14}$.

Calculer A et B en donnant les résultats sous la forme de fractions irréductibles.

Solution

• On commence par effectuer les calculs entre parenthèses. Pour cela réduisons les fractions au même dénominateur :

$A=\left(\dfrac 42-\dfrac 32\right)\left(\dfrac 23-\dfrac 93\right)=\left(\dfrac {4-3}{2}\right)\times \left(\dfrac {2-9}{3}\right)$,

soit $A=\left(\dfrac{1}{2} \right)\times \left(- \dfrac{7}{3}\right)$.

Multiplions les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

$A=\dfrac {1\times (-7)}{2\times 3}$ ou encore $A=-\dfrac 76$.

• Diviser par $\dfrac {5}{14}$, c’est multiplier par $\dfrac {14}{5}$.

D’où  $B=\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{7} \times \dfrac{14}{5}$.

On effectue la multiplication en premier :

$B=\dfrac {3}{10}+\dfrac {3\times 14}{7\times 5}=\dfrac {3}{10}+\dfrac 65=\dfrac {3}{10}+\dfrac {12}{10}$, soit $B=\dfrac 32$.