Maîtriser les quatre opérations élémentaires sur les nombres relatifs

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Légende de la leçon

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I. Rappels de cours

1) Nombre relatif

 Un nombre relatif est composé de deux éléments : son signe et sa distance à 0.

Exemples :

+2,5+ 2,5 est un nombre relatif positif dont la distance à 00 est 2,52,5.

3,5- 3,5 est un nombre relatif négatif dont la distance à 00 est 3,53,5.

 Un nombre relatif peut être représenté sur une droite graduée.

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2) Addition de nombres relatifs

 La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif dont :

  • le signe est le signe commun aux deux nombres, 
  • la distance à 00 est la somme de leurs distances à 00.

Exemples : (+2,4)+(+3,7)=+6,1(+ 2,4)+(+ 3,7)=+ 6,1 et (4,4)+(2,1)=6,5(- 4,4)+(- 2,1)=- 6,5

 La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif dont :

  • le signe est celui du nombre possédant la plus grande distance à 00
  • la distance à 00 est la différence de leurs distances à 00.

Exemples : (2,4)+(+3,7)=1,3(- 2,4)+(+ 3,7)= 1,3 et (4,4)+(+2,1)=2,3(- 4,4)+(+ 2,1)=- 2,3

3) Soustraction de nombres relatifs

Pour soustraire un nombre relatif d’un autre nombre relatif, on lui ajoute son opposé.

Exemples  :

(+5,25)(+3,7)=(+5,25)+(3,7)=+1,55(+ 5,25)-(+ 3,7)=(+ 5,25)+(- 3,7)=+ 1,55

(5,25)(+3,7)=(5,25)+(3,7)=8,95(- 5,25)-(+ 3,7)=(- 5,25)+(- 3,7)=- 8,95

4) Multiplication, division de nombres relatifs

 Le produit (ou la division) de deux nombres relatifs est un nombre relatif dont le signe est donné par la « règle des signes » et dont la distance à 00 est le produit (ou la division) de leurs distances à zéro.

 La « règle des signes » est la suivante :

  • Le produit (ou la division) de deux nombres de même signe est positif.
  • Le produit (ou la division) de deux nombres de signes différents est négatif.

Exemples :

(+5,25)×(+2)=+10,5(+ 5,25)\times(+ 2)=+ 10,5 et (+4,9)×(2)=9,8(+ 4,9)\times(- 2)=- 9,8

(+1,87)÷(1,1)=1,7(+ 1,87)\div(- 1,1)=- 1,7 et (4,48)÷(3,2)=+1,4(- 4,48)\div(- 3,2)=+ 1,4

II. Méthodes

1) Calculer avec des nombres relatifs

Compléter les égalités suivantes :

a. (5)×(...)=7,5(-5)\times(...)=-7,5

c. (6,45)+(...)=7,5(- 6,45)+(...)=- 7,5

b. (3,7)(...)=+5,5(-3,7)-(...)=+5,5

d. (6,45)÷(...)=1,5(-6,45)\div(...)=-1,5

Solution

a. (5)×(+1,5)=7,5(-5)\times(+1,5)=-7,5

c. (6,45)+(1,05)=7,5(-6,45)+(-1,05)=-7,5

b. (3,7)(9,2)=+5,5(-3,7)-(-9,2)=+5,5

d. (6,45)÷(+4,3)=1,5(-6,45)\div(+4,3)=-1,5

2) Effectuer des calculs enchaînés

On donne x=5x=-5, y=+3,2y=+3,2, z=2,4z=-2,4 et t=+4,8t=+4,8. Donner les écritures décimales des nombres suivants :

a. A=x+yztA=x+yz-t

b. B=3x2z4y+3tB=3x-2z-4y+3t

Conseils

Calcule séparément le numérateur, puis le dénominateur de A. Déduis-en alors A. Procéde de la même façon pour calculer B.

Solution

a. Notons respectivement NA et DA le numérateur et le dénominateur de A.

NA=(5)+(+3,2)=1,8NA=(-5)+(+3,2)=-1,8

et DA=(2,4)(+4,8)=7,2.DA=(-2,4)-(+4,8)=-7,2.

Alors A=1,87,2A=-1,8-7,2, soit A=+0,25A=+0,25.

b. De même, nous avons NB=3(5)2(2,4)=10,2NB=3(-5)-2(-2,4)=-10,2

et DB=4(+3,2)+3(+4,8)=+1,6DB=-4(+3,2)+3(+4,8)=+1,6.

Alors B=10,2+1,6=6,375B=-10,2+1,6=-6,375.