La plupart des suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques. On utilise parfois une suite auxiliaire arithmétique ou géométrique pour étudier des suites quelconques. C’est le cas pour les suites arithmético-géométriques qui peuvent modéliser l’évolution d’une population.

I. Définition

Soient $a$ et $b$ deux réels et $(u_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n\;:\;u_{n+1}=au_n+b$ .

Si $a$ est différent de $0$ et de $1$ , et si $b$ est différent de $0$ , on dit que la suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique.

À noter

On peut remarquer que si a = 1, la suite est arithmétique et que si b = 0, la suite est géométrique ; enfin, si a = 0, la suite est constante à partir du rang $1$ .

II. Solution particulière constante

Théorème :

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a\neq 1$ . Il existe une unique suite constante $(c_n)$ telle que pour tout entier naturel $n\;,\;c_{n+1}=ac_n+b$ ; elle vérifie, pour tout entier naturel $n$ , $c_n=\dfrac{b}{1-a}$ .

III. Utilisation de la suite auxiliaire constante

Soient $a$ et $b$ deux réels et $(u_n)$ une suite arithmético-géométrique, telle que pour tout entier naturel $n\;,\; u_{n+1}=au_n+b$ .

Théorème : La suite définie, pour tout entier naturel $n$ , par $v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}$ est une suite géométrique de raison $a$ .

Conséquences :

Pour tout entier naturel $n\;,\; v_n=v_0\times a^n$ avec $v_0=u_0-\dfrac{b}{1-a}$ .

Pour tout entier naturel $n\;,\; u_n=v_0\times a^n+\dfrac{b}{1-a}$ .

Si $0\le a$ < $1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\dfrac{b}{1-a}$ .

Remarque : Si la suite $(u_n)$ est définie à partir du rang $1$ , on a pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_n=v_1\times a^{n-1}$ avec $v_1=u_1-\dfrac{b}{1-a}$ et $u_n=v_1\times a^{n-1}+\dfrac{b}{1-a}$ .

Méthodes

1) Déterminer une solution constante

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in \textbf N$ par :

$u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n+2$ .

Déterminer une suite constante vérifiant la même relation de récurrence que la suite $(u_n)$ .

Conseil

Il suffit de résoudre l’équation $x=3x+2$ .

2) Utiliser une suite auxiliaire constante

On considère la suite (u_n) définie pour tout $n\in \textbf N$ par :

$u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n+2$ .

a. Montrer que la suite de terme général $v_n=u_n+1$ est géométrique. En donner le premier terme et la raison.

b. En déduire, pour tout entier naturel $n$ , les expressions de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$ .

Conseils

Pour montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique, exprimez $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$ ; déduisez-en $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ ; concluez en factorisant par 3. On rappelle pour la fin de la question qu’une suite géométrique de raison $k$ a pour terme général $v_0\times k^n$ et on remarque que $u_n=v_n-1$ .

Solution

a. Pour tout $n\in \textbf N\;,\;v_{n+1}=u_{n+1}+1$ soit $v_{n+1}=3u_n+2+1=3(u_n+1)=3v_n$ .

Ainsi, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ , de premier terme $u_0+1=2$ .

b. Pour tout $n\in \textbf N\;,\;, v_n=2\times 3^n$ .

Pour tout $n\in \textbf N\;,\;, v_n=u_n+1$ d'où $u_n=v_n-1$ soit $u_n=2\times 3^n-1$ .

Suites arithmético-géométriques