Résoudre une équation du premier degré

Leçon de la leçon

Vert : définitions.

I. Rappels de cours

1) Résoudre une équation

Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue (souvent désignée par $x$) vérifiant l’équation.

On obtient ainsi la ou les solutions de l’équation.

2) Équation produit

 Une équation produit est une équation de la forme $(ax+b)(cx+d)=0$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont donnés et $x$ est l’inconnue.

 Pour la résoudre, on utilise le théorème suivant :

Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Ou encore, si $A \times B=0$, alors $A=0$ ou $B=0$.

II. Méthodes

1) Résoudre une équation du type $ax+b=0$

Résoudre les équations suivantes :

a. $3x+1=0$ ;
b. $5x=0$ ;
c. $5-2(-2x+3)+[4-2(x+2)]=9$.

Conseils

Si aucune factorisation n’est possible, alors il peut être utile de :

1. développer les produits dans les deux membres 

2. regrouper les termes relatifs à l’inconnue dans un membre et les termes connus dans l’autre membre 

3. simplifier afin d’obtenir une équation de la forme $ax=b$.

Si $a \neq 0$, alors l’équation admet $x=\dfrac{b}{a}$ pour solution.

Solution

a. $3x+1=0$ ou encore $3x=-1$, soit $x=-\dfrac{1}{3}$.

b. La solution est $x=0$.

c. Développons puis réduisons :

$5+4x-6+4-2x-4=9 \Leftrightarrow 4x-2x=9-5+6$, soit $2x=10$.

Conclusion : $5$ est la solution de l’équation.

Attention

N’oublie pas de vérifier les résultats obtenus !

2) Résoudre une équation produit

Résoudre les équations suivantes :

a. $(-3x+4)(2x+9)=0$ ;

b. $(5x-3)^2-4x(5x-3)=0$ ;

c. $(-7x+9)^2-(2x-3)^2=0$.

Conseils

Factorise afin d’obtenir un produit de facteurs nul.

Solution

a. Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul, donc :

$-3x+4=0$, soit $x=\dfrac{4}{3}$, ou bien $2x+9=0$, soit $x=-\dfrac{9}{2}$.

Conclusion : les solutions de l’équation sont $-\dfrac{9}{2}$ et $\dfrac{4}{3}$.

b. Nous pouvons mettre $(5x-3)$ en facteur :

$(5x-3)[(5x-3)-4x]=0 \Leftrightarrow (5x-3)(x-3)=0$.

Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Donc :

$5x-3=0$, soit $x=\dfrac{3}{5}$,

ou bien $x-3=0$, soit $x=3$.

Conclusion : les solutions de l’équation sont $\dfrac{3}{5}$ et $3$.

c. En utilisant l’identité remarquable $a^2−b^2=(a+b)(a-b)$

avec $a=-7x + 9$ et $b=2x-3$, on obtient :

$[(-7x+9)+(2x-3)][(-7x+9)-(2x-3)]=0$

ou encore, après simplification, $(-5x+6)(-9x+12)=0$.

Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.

Donc : $-5x+6=0$, soit $x=\dfrac{6}{5}$,

ou bien $-9x+12=0$, soit $x=\dfrac{4}{3}$.

Conclusion : les solutions de l’équation sont donc $\dfrac{6}{5}$ et $\dfrac{4}{3}$.