Résoudre une inéquation du premier degré

Légende de la leçon

Vert : définition.

I. Rappels de cours

1) Solutions d’une inéquation

 Résoudre une inéquation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue (souvent désignée par $x$) vérifiant l’inéquation.

On obtient ainsi la ou les solutions de l’inéquation.

 On peut représenter l’ensemble des solutions sur une droite graduée.

2) Règles

 On peut ajouter ou soustraire un même nombre à chacun des membres d’une inéquation.

 On peut multiplier ou diviser chacun des membres d’une inéquation par un même nombre non nul.

Attention

Si ce nombre est positif, on conserve le sens de l’inégalité. Si ce nombre est négatif, on change le sens de l’inégalité.

I. Méthodes

1) Résoudre une inéquation

Résoudre l’inéquation suivante :

$3(-2x+3) \geq 8-(7-5x)$

Conseils

1. Après simplification de chaque membre de l’inéquation, isole les termes relatifs à l’inconnue dans un membre.

2. Simplifie afin d’obtenir une inéquation de la forme $ax$ < $b$ (ou $ax$ > $b$), les inégalités pouvant être aussi au sens large.

3. Conclus par une phrase ou à l’aide d’une droite graduée.

Solution

Développons chaque membre de l’inéquation : $-6x+9 \geq 8-7+5x$.

Isolons l’inconnue : $-6x-5x \geq 1-9$

ou encore $-11x \geq -8$.

Divisons chaque membre de l’inégalité par $-11$ en changeant le sens de l’inégalité, on obtient :

$x \leq \dfrac{-8}{-11}$, soit $x \leq \dfrac{8}{11}$.

Conclusion : les solutions de l’inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $811$. Ils sont représentés par la partie hachurée :

2) Reconnaître des inéquations ayant les mêmes solutions

Parmi les trois inéquations suivantes, deux (et deux seulement) admettent les mêmes solutions. Quelle est l’inéquation qui n’admet pas les mêmes solutions que les deux autres ?

a. $-\dfrac{5x}{2}+\dfrac{5}{2}$ < $\dfrac{x}{2}-20$ ;

b. $\dfrac{x}{15}-7$ > $-6,5$

c. $5x \times 10^{-2}+9+0,3x$ < $9,375+\dfrac{4,5x}{15}$

Solution

a. Multiplions par $2$ chaque membre de l’inéquation.

Nous obtenons $-5x+5$ < $x-40$.

Isolons l’inconnue : $-5x-x$ < $-40-5$,

soit $-6x$ < $-45$.

Nous obtenons $x$ > $\dfrac{-45}{-6}$

ou encore x>7,5.

Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres supérieurs à $7,5$.

b. Ajoutons $7$ à chaque membre de l’inéquation.

Nous obtenons $\dfrac{x}{15}$ > $-6,5+7$

ou encore $\dfrac{x}{15}$ > $0,5$.

Multiplions par $15$ chaque membre de l’inéquation.

Nous obtenons $x$ > $7,5$.

Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres supérieurs à $7,5$.

c. Nous avons $0,05x+9+0,3x$ < $9,375+0,3x$ ou encore, après simplification :

$0,05x$ < $9,375-9$,

soit $x$ < $\dfrac{0,375}{0,05}$.

Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres inférieurs à $7,5$.

Conclusion : l’inéquation $c$ n’admet pas les mêmes solutions que les autres, c’est l’intruse cherchée.