Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien

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Historiquement, la fonction ln a été inventée pour simplifier les calculs, car elle permet de convertir les multiplications, longues à effectuer et souvent sources d’erreurs, en de simples additions.

I. Propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tout entier n, on a :

 lnab=lna+lnb

  lnab=lna−lnb

  ln1a=−lna

 lnan=nlna

Conséquence : Pour tout réel strictement positif a, on a :

lna=12lna

II. Équations et inéquations

Pour tous réels a et b strictement positifs, on a :

 lna=lnb⇔a=b

 lna<lnb⇔a<b

Exemple : ln3x=ln6⇔3x=6⇔x=2.

Conséquence :

Pour tout réel m et tout réel strictement positif x, on a :

 lnx=m⇔x=em

 lnx<m⇔x<em

Exemple : ln1+x=4⇔1+x=e4⇔x=e4−1.

En particulier : ln(a)<0⇔0<a<1.

Remarque : Si q et a sont des réels strictement positifs et si n est un entier naturel, alors qn>a⇔nln(q)>ln(a).

À noter

Cette remarque permet de déterminer un seuil dans l’étude d’une suite géométrique.

Méthodes

1) Simplifier ou transformer une expression

On pose A=ln12−3ln22ln3−ln6 et B=e−ln2+ln(e−2).

 

Conseils

Pour simplifier A, utilisez la propriété sur le logarithme d’un produit.

Pour simplifier B, utilisez la définition du logarithme.

Solution

A=ln(3×22)−3ln22ln3−ln(3×2)=ln3+2ln2−3ln22ln3−(ln3+ln2)=ln3−ln2ln3−ln2=1.

Donc A est entier.

B=1eln2+ln(e−2)=12−2=−32. Donc B est rationnel.

2) Résoudre une inéquation

On considère la suite géométrique de terme général un=12n.

Déterminer à partir de quel rang n on a un≤10−5.

Conseil

Modifiez la condition un≤10−5 en prenant le logarithme népérien de chaque membre, pour faire passer l’inconnue n d’exposant à coefficient.

Solution

Pour tout n∈ℕ,un>0. On peut donc utiliser la croissance de la fonction ln puisque les deux membres de l’inégalité sont positifs. On obtient :

14823579-2605-4a41-a35c-a8ea9e90c132

Donc un≤10−5 à partir du rang n=17.

À noter

Attention aux signes dans les résolutions d’inéquations !