Historiquement, la fonction ln a été inventée pour simplifier les calculs, car elle permet de convertir les multiplications, longues à effectuer et souvent sources d’erreurs, en de simples additions.
I. Propriétés algébriques
Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tout entier n, on a :
lnab=lna+lnb
lnab=lna−lnb
ln1a=−lna
lnan=nlna
Conséquence : Pour tout réel strictement positif a, on a :
lna=12lna
II. Équations et inéquations
Pour tous réels a et b strictement positifs, on a :
lna=lnb⇔a=b
lna<lnb⇔a<b
Exemple : ln3x=ln6⇔3x=6⇔x=2.
Conséquence :
Pour tout réel m et tout réel strictement positif x, on a :
lnx=m⇔x=em
lnx<m⇔x<em
Exemple : ln1+x=4⇔1+x=e4⇔x=e4−1.
En particulier : ln(a)<0⇔0<a<1.
Remarque : Si q et a sont des réels strictement positifs et si n est un entier naturel, alors qn>a⇔nln(q)>ln(a).
À noter
Cette remarque permet de déterminer un seuil dans l’étude d’une suite géométrique.
Méthodes
1) Simplifier ou transformer une expression
On pose A=ln12−3ln22ln3−ln6 et B=e−ln2+ln(e−2).
Conseils
Pour simplifier A, utilisez la propriété sur le logarithme d’un produit.
Pour simplifier B, utilisez la définition du logarithme.
Solution
A=ln(3×22)−3ln22ln3−ln(3×2)=ln3+2ln2−3ln22ln3−(ln3+ln2)=ln3−ln2ln3−ln2=1.
Donc A est entier.
B=1eln2+ln(e−2)=12−2=−32. Donc B est rationnel.
2) Résoudre une inéquation
On considère la suite géométrique de terme général un=12n.
Déterminer à partir de quel rang n on a un≤10−5.
Conseil
Modifiez la condition un≤10−5 en prenant le logarithme népérien de chaque membre, pour faire passer l’inconnue n d’exposant à coefficient.
Solution
Pour tout n∈ℕ,un>0. On peut donc utiliser la croissance de la fonction ln puisque les deux membres de l’inégalité sont positifs. On obtient :
Donc un≤10−5 à partir du rang n=17.
À noter
Attention aux signes dans les résolutions d’inéquations !