I. Rappels de cours

Les différentes étapes pour mettre un problème en équation

Attention
Parfois, il est nécessaire d’effectuer des calculs avant de pouvoir formuler l’équation.

1. Choisir l’inconnue (la plupart du temps, on choisit pour inconnue le nombre recherché dans le problème).

2. Traduire l’énoncé du problème par une équation.

3. Résoudre l’équation obtenue.

4. Conclure.

II. Méthodes

1) Mettre un problème en équation

Lors d’un match de basket-ball, John Smith a marqué $33$ points en tout.

Il a réussi $5$ lancers francs rapportant $1$ point chacun, un certain nombre de paniers à $3$ points chacun et deux fois plus de paniers à $2$ points chacun que de paniers à $3$ points.

Combien John Smith a-t-il marqué de paniers à $2$ points chacun ?

Conseils

Note au brouillon les nombres de paniers et de points rapportés pour chaque type de lancer, quand l’énoncé les donne. Ensuite, suis les étapes indiquées dans le rappel de cours.

Solution

1. Choix de l’inconnue : soit $x$ le nombre de paniers à $2$ points.

2. Traduction de l’énoncé du problème par une équation :

On sait que ce basketteur a réussi :

$x$ paniers à $2$ points qui lui ont rapporté $x \times 2$ points

$\dfrac{x}{2}$ paniers à $3$ points qui lui ont rapporté $\dfrac{x}{2} \times 3$ points

$5$ lancers francs à $1$ point qui lui ont rapporté $5$ points.

Nous avons donc $\dfrac{x}{2} \times 3+x \times 2+5=33$ .

3. Résolution de l’équation obtenue :

$1,5x+2x=33-5$ ,

soit $3,5x=28$

ou encore $x=\dfrac{28}{3,5}$ donc $x=8$ .

4. Conclusion : John Smith a marqué $8$ paniers à $2$ points.

De plus, on peut vérifier que $\dfrac{8}{2} \times 3+8 \times 2+5=33$ .

2) Vérifier si la réponse est plausible

Aujourd’hui Zoé a $12$ ans et Antoine en a $42$ . Dans combien d’années l’âge d’Antoine sera-t-il le quadruple de celui de Zoé ?

Conseils

Traduis le problème en équation, résolve-la et vérifie si la solution a un sens.

Solution

Soit $x$ le nombre d’années dans lequel Antoine aura le quadruple de l’âge de Zoé.

Dans $x$ années, Antoine aura $42+x$ ans et Zoé sera âgée de $12+x$ ans.

On recherche donc à résoudre l’équation : $42+x=4 \times (12+x)$ .

Nous avons $42+x=4 \times 12+4x$ ,

soit $42+x=48+4x$

ou encore $3x=-6$ .

Cette équation admet pour solution $x=-2$ .

Conclusion : l’équation admet mathématiquement une solution, mais le problème posé est impossible car $x$ représente un nombre d’années dans le futur. Il ne peut donc pas être négatif ici !

L’âge d’Antoine ne sera jamais le quadruple de celui de Zoé. Cet événement s’est déjà déroulé … Il y a $2$ ans !

Attention

De façon générale, il faut toujours regarder la cohérence du résultat, son interprétation, son ordre de grandeur …