Limites : opérations et suites monotones

Pour déterminer la limite d’une suite, il peut être utile de la décomposer en somme, différence ou encore en quotient de deux suites dont on sait calculer les limites.

I. Limites et opérations

Dans les tableaux ci-dessous, l et l′ sont des réels, et « F. I. » désigne une forme indéterminée, c’est-à-dire les cas où l’on ne peut pas déterminer d’emblée la limite de la suite.

Sans plus de renseignement sur les suites, on ne peut pas déterminer la limite :

de la différence de deux suites de même limite infinie («  ∞−∞ ») ;

du quotient de deux suites de limites infinies (« ∞/∞ ») ;

du quotient de deux suites de limites nulles (« 0/0 ») ;

du produit de deux suites de limites respectivement nulle et infinie (« 0×∞ »).

Pour lever l’indétermination, dans les deux premiers cas, on peut factoriser chaque terme du quotient ou de la différence par des termes prépondérants.

À noter

Certaines suites n’admettent pas de limites, par exemple les suites de termes généraux − 1n et − 10n.

II. Suites monotones

Théorèmes : Toute suite croissante non majorée diverge vers + ∞.

Toute suite décroissante non minorée diverge vers − ∞.

Théorèmes : Soient M et m des réels.

Toute suite croissante majorée par M converge vers un réel l tel que l≤M.

Toute suite décroissante minorée par m converge vers un réel l tel que l≥m.

Conseils

Décomposez chacune des suites en somme, produit, inverse ou quotient de suites dont les limites sont connues.

Solution

On a limn→+ ∞n=+ ∞ donc limn→+ ∞n2=+ ∞ et limn→+ ∞n2−7=+ ∞ ; limn→+ ∞1−n=− ∞, ainsi limn→+ ∞1−nn2−7=− ∞ (limite d’un produit).

On a limn→+ ∞1n=0 donc limn→+ ∞1+1n=1. De plus, limn→+ ∞n+5=+ ∞, donc par limite d’un quotient limn→+ ∞1+1nn+5=0.

2) Déterminer les limites de suites monotones

Soit la suite v définie par v0=5 et vn+1=vn+12 pour tout n∈ℕ.

a. Montrer que, pour tout n∈ℕ, vn≥4.

b. On admet que la suite v est décroissante. En déduire que la suite v converge.

Conseils

On suivra un raisonnement par récurrence, qui se fait en trois étapes.

Étape 1 Initialisation : elle consiste à montrer que la propriété à démontrer (vn≥4) est vraie au rang 0.

Étape 2 Hérédité : on suppose la propriété vraie à un rang quelconque n (vn≥4), puis on en déduit qu’elle est vraie au rang suivant (vn+1≥4).

Étape 3 Conclusion

Solution

a. Étape 1 On a v0≥4.

Étape 2 Si n∈ℕ tel que vn≥4, alors vn+12≥16. Ainsi vn+1≥4.

Étape 3 Le principe de récurrence permet de conclure que, pour tout n∈ℕ, vn≥4.

b. La suite v est décroissante et minorée par 4. Donc elle converge vers un réel l tel que l≥4.