Étudier la limite d’une suite permet d’avoir une idée de son comportement en l’infini. Pour trouver la limite (si elle existe) d’une suite, une méthode consiste à la comparer aux comportements de suites que l’on connait.
I. Suites de limites finie et infinie
1) Limite infinie
Soient A et B des réels.
On dit qu’une suite u admet pour limite + ∞ si tout intervalle de la forme A ; + ∞ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On note limn→+ ∞un=+ ∞ et on dit que la suite diverge vers + ∞.
On dit qu’une suite u admet pour limite − ∞ si tout intervalle de la forme − ∞ ; B contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On note limn→+ ∞un=− ∞ et on dit que la suite diverge vers −∞.
À noter
La suite de terme général un admet pour limite − ∞ si et seulement si la suite de terme général − un admet pour limite + ∞.
2) Limite finie
Soit l un réel.
On dit qu’une suite u admet pour limite l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On note limn→+ ∞un=l et on dit que la suite converge vers l.
II. Comparaison et encadrement
Théorème de comparaison
Soit N un entier naturel et soient un et rn des suites réelles.
Si pour tout entier n≥N, un≥rn et limn→+ ∞rn=+ ∞, alors limn→+ ∞un=+ ∞.
Si pour tout entier n≥N, un≤rn et limn→+ ∞rn=− ∞, alors limn→+ ∞un=− ∞.
Théorème d’encadrement (dit « théorème des gendarmes »)
Soient l un réel, N un entier naturel, et un, rn et sn des suites réelles.
Si pour tout entier n≥N, sn≤un≤rn et si limn→+ ∞sn=l et limn→+ ∞rn=l, alors limn→+ ∞un=l.
À noter
Pour démontrer qu’une suite diverge vers + ∞ ou − ∞, il est inutile d’encadrer les termes de la suite car un théorème de comparaison suffit.
Méthodes
1) Déterminer la limite d’une suite par comparaison
Déterminer la limite de la suite de terme général un=n+− 1n.
Conseils
Pensez à encadrer − 1n pour déterminer la limite de un.
Solution
Pour tout entier naturel n, − 1≤− 1n≤1. Donc n−1≤un.
Or limn→+ ∞n−1=+ ∞ donclimn→+ ∞un=+ ∞.
2) Déterminer la limite d’une suite par encadrement
Déterminer la limite des suites de termes généraux un et sn, avec un=− 1n−nn et sn=1n2+1n2+1+…+1n2+n.
Conseils
Encadrez le numérateur de un. Pour sn, remarquez que chacun des n+1 termes de la somme est compris entre 1n2+n et 1n2.
Solution
Pour tout entier naturel n, on a − 1≤− 1n≤1.
Donc −1−n≤− 1n−n≤1−n, puis − 1−nn≤un≤1−nn.
On a − 1−nn=−1n−1 et 1−nn=1n−1.
Donclimn→+ ∞un=− 1.
Pour tout entier naturel n non nul,
\frac{1}{n^2+n}+\frac{1}{n^2+n}+…+\frac{1}{n^2+n}
≤\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2+1}+…+\frac{1}{n^2+n}
≤\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+…+\frac{1}{n^2}
Or limn→+ ∞1n+1=0 et limn→+ ∞1n+1n2=0.