Développer puis réduire des expressions

Légende de la leçon

Vert : définitions.

I. Rappels de cours

1) Développer une expression

Développer, c’est transformer un produit en somme.

Pour cela, on utilise soit la propriété de distributivité, soit les identités remarquables.

2) Propriété de distributivité

La multiplication est distributive par rapport à l’addition, c’est-à-dire que, quels que soient les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$, on a :

• $a \times (b+c)= a \times b + a \times c$ ;

• $(a+b) \times (c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$.

II. Méthodes

1) Développer à l’aide de la propriété de distributivité

Développer puis réduire les expressions suivantes :

$A=5x(2x-4)$

$B=(2x-5)(-4x+3)$

$C=(x^2-x+1)(x+1)$

Conseils

• Pour développer, applique la distributivité.

• Pour réduire, effectue les sommes algébriques de même nature.

Par exemple :

$5x^2-2x^2=(5-2)x^2=3x^2$.

Solution

• $A=5x \times 2x - 5x \times 4$
  soit $A=10x^2 - 20x$
  
  
• $B= 2x \times (-4x)+2x \times 3 - 5 \times (-4x) - 5 \times 3$
  soit $B = -8x^2+26x-15$

• $C=x^2 \times x + x^2 \times 1 - x \times x - x \times 1 + x \times 1 + 1 \times 1$
  $C=x^3 + x^2 - x^2 - x + x + 1$
  soit $C = x^3 + 1$

2) Développer à l’aide des identités remarquables

Développer puis réduire les expressions suivantes :

• $A=2(2x+3)^2$
  
  
• $B=(1+3x)(1-3x)$
  
  
• $C=(3-4x)^2-5x(3-4x)$
  
  

Conseils

Applique le développement d’une identité remarquable judicieusement choisie.

Solution

• Utilisons l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  
  avec $a=2x$ et $b=3$ :
  
  $A=2 \big[(2x)^2+2 \times 2x \times 3+3^2 \big]$
  $A=2(4x^2+12x+9)$
  ou encore $A=8x^2+24x+18$.

• Utilisons l’identité remarquable $(a+b) \times (a-b)=a^2-b^2$ avec $a=1$ et $b=3x$ :
  
  $B=1^2-(3x)^2$
  soit $B=1-9x^2$.

• Pour développer $(3-4x)^2$, utilisons l’identité remarquable $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=3$ et $b=4x$ pour développer $5x(3-4x)$, utilisons la distributivité
  
  $C=(9-24x+16x^2)-(15x-20x^2)$
  $C=9-24x+16x^2-15x+20x^2$
  ou encore $C=36x^2-39x+9$.

3) Développer pour mieux calculer mentalement

1. Développer puis réduire l’expression $E=(n+1)^2-(n-1)^2$.

2. En déduire, sans calculatrice, le nombre $F=51^2-49^2$.

Solution

1. Utilisons l’identité remarquable $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ avec $a=n+1$ et $b=n-1$ :

$E= \big[ (n+1)+(n-1) \big] \big[(n+1)-(n-1) \big]$,

soit $E= [n+1+n-1][n+1-n+1]$

ou encore $E=4n$.

Nous avons démontré que $E=(n+1)^2-(n-1)^2=4n$.

2. Remplaçons $n$ par $50$ dans l’expression $E$.

Alors : $(50+1)^2-(50-1)^2=4 \times 50$.

Le nombre $F$ est donc égal à $200$.