Sous certaines conditions, si l’on connaît les dérivées de deux fonctions, il est possible de déterminer celle de leur somme, de leur composée.

I. Dérivée de x ↦ g(ax + b)

Théorème : Soit

g

une fonction dérivable sur un intervalle

I

. La fonction

x\mapsto g(ax +b)

est dérivable sur I et a pour dérivée :

x\mapsto a\times g'(ax+b)

Exemple : Déterminer la dérivée de

k\;:\; x\mapsto\sqrt{4x−5}

k

est définie si et seulement si

4x −5 \geqslant 0

, soit

x \geqslant \dfrac 54

, et est dérivable pour

x\rangle\dfrac 54

k

est de la forme

x\mapsto g(ax + b)

avec

g(X)=\sqrt X

ax +b =4x -5

. On a donc

k'(x)=a\times g'(ax+b)=4\times \dfrac{1}{2\sqrt{4x−5}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x−5}}.

À noter
Pour calculer g′(ax+b), on calcule g′(X) et on remplace X par ax+b.

II. Dérivée de x ↦ e^u⁽^x⁾

Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle

I

, de dérivée

u'

. La fonction

x \mapsto\text e^{u(x)}

est dérivable sur

I

et a pour dérivée :

x\mapsto u'(x)\times \text e^{u(x)}

Exemple : Déterminer la dérivée de

f\;:\;x \mapsto \text e^{3x-5}.

La fonction

f

est dérivable sur ℝ comme composée de fonctions dérivables.

f

est de la forme

\text e^u

, avec

u(x) =3x -5\;, \; u'(x)=3

. Donc

f'(x)=3\text e^{3x-5}.

III. Dérivée de x ↦ u ²(x)

Théorème : Soit

u

une fonction dérivable sur un intervalle

I

, de dérivée

u'

La fonction

x \mapsto u^2(x)

est dérivable sur

I

et a pour dérivée :

x\mapsto 2u'\times u(x)

Exemple : Déterminer la dérivée de

f\;:\;x\mapsto (x^2+x-1)^2

La fonction

x\mapsto (x^2+x-1)

est dérivable sur ℝ car c’est un polynôme. La fonction

f

est donc dérivable sur ℝ.

f

est de la forme

u^2

avec

u(x)=(x^2+x-1)

, et

u'(x)=2x+1

. Donc

f'(x)=2\times (2x+1)\times (x^2+x+1).

À noter :

Cette formule se généralise à

x\mapsto u^n(x)

avec les mêmes hypothèses, et cette fonction admet pour dérivée

x\mapsto nu'(x)u^{n-1}(x).

Méthode : Déterminer une fonction dérivée

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes en précisant l’intervalle sur lequel ces fonctions sont dérivables :

f\;:\;x\mapsto (x^2-1)^2

g\;:\;x\mapsto (x+1)\text e^{x^2+1}

h\;:\;x\mapsto \sqrt{1-3x}

Conseil
L’expression de chaque fonction vous indique sa forme : selon le cas, appliquez la formule adéquate du cours.

a. La fonction

x\;:\;\mapsto x^2-1

est dérivable sur R car c'est une fonction polynôme, donc la fonction

f

est dérivable sur R.

f

est de la forme

u^2

avec

u(x)=x^2-1

u'(x)=2x

. Or

(u^2)'=2u'u

, donc pour tout

x

réel,

f'(x)=2\times 2x(x^2-1)=4x(x^2-1).

b. Les fonctions

x\mapsto x+1

x\mapsto \text e^{x^2+1}

sont dérivables sur ℝ donc

g

est dérivable sur ℝ par produit.

À noter
Nous avons ici à la fois une composée et un produit ! N’oubliez pas les règles générales de dérivation.

g

est de la forme

v \times w

avec

v(x) =x +1

w(x)=\text e^{x^2+1}

; on a alors

v'(x)=1

et il reste à déterminer la dérivée de

w

w

est de la forme

\text e^u

avec

u(x) =x^2 +1

u'(x)=2x

. Or

(\text e^u)'=u'\text e^u

donc

w'(x)=2x\text e^{x^2+1}

On en déduit que pour tout

x

de ℝ on a

g'(x)=1\times \text e^{x^2+1}+(x+1)\times 2x\text e ^{x^2+1}

c. La fonction

x\mapsto \sqrt{1-3x}

est dérivable sur ℝ et est positive si et seulement si

1-3x\geqslant 0 \iff -3x\geqslant -1\iff x\leqslant \dfrac 13

La fonction h est donc dérivable sur

\left]-\infty\;;\;\dfrac 13\right]

h

est de la forme

g(ax+b)

avec

g(x)=\sqrt x

ax+b = -3x + 1

On a donc

h'(x)=ag'(ax+b)

g'(x)=\dfrac {1}{2x}

, donc pour tout

x\in \left]-\infty\;;\;\dfrac 13\right]

h'(x)=-3\times \dfrac{1}{2\sqrt{1-3x}}

Dérivées de fonctions composées

I. Dérivée de x ↦ g(ax + b)

II. Dérivée de x ↦ eu(x)

III. Dérivée de x ↦ u 2(x)

II. Dérivée de x ↦ e^u⁽^x⁾

III. Dérivée de x ↦ u ²(x)