Définition de l’intégrale

L’intégrale d’une fonction positive sur un intervalle I est l’aire de la surface comprise entre sa courbe et l’axe des abscisses.

I. Intégrale d’une fonction continue positive

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O\;;\vec i\;,\vec j)$.

Soient I et J des points du plan tels que $\overrightarrow{OI}=\vec i\;~,\overrightarrow{OJ}=\vec j$. On appelle unité d’aire (notée u.a.) l’aire du rectangle de longueur OI et de largeur OJ.

Définition : Soit $f$ une fonction continue positive sur un intervalle [a ; b], a≤b. On note C la courbe représentative de $f$ dans le repère $(O\;;\vec i\;,\vec j)$.

L’intégrale de f sur [a ; b] est l’aire, exprimée en u.a., du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b. On la note $\begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned}$. a et b s'appellent les bornes de l'intégrale. 

Théorème fondamental : Si f est une fonction continue positive sur un intervalle [a ; b], la fonction F_a définie sur [a ; b] par $F_a(x)=\begin{aligned} \int_a^x f(t)\;\text dt \end{aligned}$ est la primitive de f qui s’annule en a.

Conséquence : Si F est une primitive de f sur [a ; b], on a $\begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned}=F(b)-F(a)$ que l’on note $[F(t)]_a^b$.

II. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive de f sur I. Pour tous a, b de I, on définit $\begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned}$ par :

$\begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned}=[F(t)]_a^b=F(b)-F(a)$

Remarque : Si f est continue négative sur [a ; b], alors l’intégrale de f sur [a ; b] est l’opposé de l’aire du domaine défini par $\begin{aligned} \int_a^b -f(t)\;\text dt \end{aligned}$.

Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b], a ⩽ b. On appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le réel : 

$\mu=\dfrac{1}{b-a} \begin{aligned} \int_a^b f(t)\;\text dt \end{aligned}$

Méthode

Calculer l’aire d’un domaine limité par deux courbes

On considère les fonctions f et g définies sur $]0\;;+\infty[$ par $f(x)=x-2+\dfrac{\ln x}{x}$ et $g(x)=x-2$.

On note $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ leurs courbes respectives dans un repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

Calculer l’aire en cm², du domaine $\mathcal D$ du plan limité par les courbes $\mathcal C\;,\;C'$ et les droites d’équation $x=\dfrac 1e\text{ et } x=2$.

Conseils

Étape 1 Cherchez le signe de la fonction $f-g$ sur l’intervalle $\left[\dfrac 1e\;;\;2\right]$.

Étape 2 Découpez $\left[\dfrac 1e\;;\;2\right]$ en intervalles sur lesquels le signe de $f-g$ est constant. L’aire de chacun des domaines ainsi délimités est égale à l’intégrale de $f-g$ si $f-g$ est positive, et à l’opposé de l’intégrale de $f-g$ si $f-g$ est négative.

L’aire de $\mathcal D$ (en u.a.) est alors la somme de l’aire de chacun des domaines.

Étape 3 Convertissez le résultat précédent en cm².