Comparer, encadrer et ranger les nombres entiers

🎯 Objectif

Apprendre à comparer, ranger, et encadrer des très grands nombres, jusqu’aux millions et milliards, avec des exemples pratiques.

📘 Introduction

Les très grands nombres sont présents dans la vie quotidienne :

• La population mondiale (plus de $8$ milliards).

• Le budget d’un pays (des centaines de milliards d’euros).

• Les distances astronomiques (millions ou milliards de kilomètres).

Comprendre comment comparer et ranger ces grands nombres est essentiel pour les manipuler avec précision.

🔢 Comment comparer des très grands nombres ?

Pour comparer deux très grands nombres :

• Le plus grand est celui qui contient le plus de chiffres.

• Si les deux nombres ont le même nombre de chiffres, compare les chiffres de même position, en commençant par la gauche.

Exemple :

Les nombres $8~567~890$ et $8~765~432$ ont :

• Les mêmes dizaines de millions ($8$).

• Mais les millions sont différents ($5 \lt 7$).

Résultat : $8~567~890 \lt 8~765~432$.

✨ À retenir

Pour comparer les très grands nombres, commence toujours par le nombre de chiffres, puis compare chiffre par chiffre en commençant par la gauche.

🤔 Question pour toi : Lequel est le plus grand entre $567~890~123$ et $567~890~345$ ?

✅ Réponse : $567~890~345$

📋 Comment ranger des très grands nombres ?

Pour ranger des nombres :

• En ordre croissant : Place les nombres du plus petit au plus grand.

• En ordre décroissant : Place les nombres du plus grand au plus petit.

Exemple en ordre croissant :

$12~345~678 \lt 123~456~789 \lt 1~234~567~890$.

Exemple en ordre décroissant :

$1~234~567~890 \gt 123~456~789 \gt 12~345~678$.

✨ À retenir

En ordre croissant, le plus petit est en premier. En ordre décroissant, le plus grand est en premier.

🤔 Question pour toi : Range ces nombres en ordre croissant : $5~678~001$, $45~678~901$, $345~678$.

✅ Réponse : $345~678 \lt 5~678~001 \lt 45~678~901$.

✂️ Encadrer des très grands nombres

Encadrer un très grand nombre consiste à trouver :

• Un nombre plus petit, juste avant.

• Un nombre plus grand, juste après.

Exemple 1 : Encadrer $456~789~345$ entre deux millions.

Le plus grand multiple de $1~000~000$ avant est $456~789~000$.

Le plus petit multiple de $1~000~000$ après est $456~790~000$.

Résultat : $456~789~000 \lt 456~789~345 \lt 456~790~000$.

Exemple 2 : Encadrer $45~678~345$ entre deux centaines de mille.

Le plus grand multiple de $100~000$ avant est $45~600~000$.

Le plus petit multiple de $100~000$ après est $45~700~000$.

Résultat : $45~600~000 \lt 45~678~345 \lt 45~700~000$.

✨ À retenir

Pour encadrer des nombres, choisis une unité (milliers, millions, etc.) adaptée au contexte.

🤔 Question pour toi : Encadre $7~890~345$ entre deux millions.

✅ Réponse : $7~000~000 \lt 7~890~345 \lt 8~000~000$.

🎯 Entraînons-nous !

📖 Compare ces nombres : $1~345~678$ et $123~456~789$

✅ Réponse : $1~345~678 \lt 123~456~789$.

🔎 Range ces nombres en ordre décroissant : $789~345~678$, $45~678~123$, $345~789~456$

✅ Réponse : $789~345~678 \gt 345~789~456 \gt 45~678~123$.

✂️ Encadre $78~345~678$ entre deux dizaines de millions :

✅ Réponse : $70~000~000 \lt 78~345~678 \lt 80~000~000$.

✂️ Encadre $123~456~789$ entre deux centaines de millions :

✅ Réponse : $100~000~000 \lt 123~456~789 \lt 200~000~000$.

💡 Résumé

• Comparer : Compare le nombre de chiffres ou les chiffres de même position.

• Ranger : Classe les nombres en ordre croissant ou décroissant selon leur valeur.

• Encadrer : Trouve les multiples proches avant et après le nombre, en adaptant l’unité (dizaines, milliers, millions).