Calculs de primitives

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La recherche d’une primitive d’une fonction est l’opération inverse de la dérivation.

I. Primitives usuelles

On déduit du tableau des dérivées, le tableau des primitives usuelles.

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II. Opérations et composition

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

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Méthode

Déterminer des primitives

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

a. f(x)=2x3+3xf(x)=2x^3+\dfrac3x, pour tout x]0  ;  +[x\in ]0\;;\;+\infty[

b. g(x)=x(1+x2)3g(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^3}, pour tout x∈ℝ.

Conseils

Étape 1 Justifiez l’existence des primitives.

Étape 2 Déterminez s’il s’agit d’une primitive de référence ou reconnaissez une opération ou une fonction composée (dans ce cas, définir u et exprimer u′. Concluez.

Solution

a. Étape 1 La fonction f est continue sur  x]0  ;  +[x\in ]0\;;\;+\infty[ comme somme de fonctions continues ; elle y admet donc des primitives.

Étape 2 xx44x\mapsto \dfrac{x^4}{4} est une primitive de xx3x\mapsto x^3 et xlnxx \mapsto \ln x  est une primitive de x1xx\mapsto \dfrac1x sur x]0  ;  +[x\in ]0\;;\;+\infty[, donc les primitives de f sur x]0  ;  +[x\in ]0\;;\;+\infty[ sont de la forme F(x)=2×x44+3lnx+C=x42+3lnx+CF(x)=2\times \dfrac{x^4}{4}+3\ln x+C=\dfrac{x^4}{2}+3\ln x+C, où CC est une constante réelle.

b. Étape 1 La fonction g est continue sur ℝ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas ; elle admet donc des primitives sur ℝ.

Étape 2 Posons u(x)=1+x2u(x)=1+x^2. La fonction u est dérivable sur ℝ et u(x)=2xu'(x)=2x.

Pour tout x∈ℝ, g(x)=12×2x(1+x2)3=12u(x)(u(x))3g(x)=\dfrac12 \times \dfrac{2x}{(1+x^2)^3}=\dfrac12 u'(x)(u(x))^{-3}.

G(x)=12(1+x2)3+13+1+CG(x)=\dfrac 12 \dfrac{(1+x^2)^{-3+1}}{-3+1}+C=12(1+x2)22+C=\dfrac12 \dfrac{(1+x^2)^{-2}}{-2}+C=14(1+x2)2+C=-\dfrac{1}{4(1+x^2)^2}+CCC est une constante réelle.