Le nombre de listes de k objets deux à deux distincts pris parmi n, ordonnées ou non, se détermine en fonction de k et de n.
I. Arrangements et factorielle
Définition : Soit k∈ℕ*. On appelle arrangement de k éléments d’un ensemble E comportant n éléments, tout k-uplet d’éléments deux à deux distincts de E.
Théorème : Le nombre d’arrangements de k éléments d’un ensemble à n éléments est n(n−1)(n−2)…(n−k+1).
Définition : La factorielle d’un entier naturel non nul n est le produit des entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à n ; elle est notée n!.
On convient de plus que 0!=1.
Remarque : Un arrangement des n éléments d’un ensemble E à n éléments est appelé une permutation des éléments de E. Il y a n! permutations de E.
À noter
Pour tout entier naturel n : n+1!=(n+1)×n!
II. Combinaisons
Définition : Soit k∈ℕ*. On appelle combinaison de k éléments d’un ensemble E comportant n éléments, toute partie de E possédant k éléments.
Théorème : Soit n∈ℕ et k entier, 0≤k≤n. Le nombre de combinaisons de k éléments d’un ensemble à n éléments est :
ou encore .
Ce nombre est noté qu’on lit « k parmi n ».
Valeurs particulières et propriétés
Pour tous entiers naturels n et k, 0≤k≤n :
\binom{n}{0}=1~;~\binom{n}{1}=n~;~\binom{n}{2}=\dfrac{n(n−1)}{2}~\text{et} \binom{n}{k}=\binom{n}{n−k}.
Cette relation permet de construire le triangle de Pascal qui donne la valeur des pour des petites valeurs de n :
Méthodes
1) Déterminer un nombre de k-uplets
On dispose de 10 couleurs pour fabriquer un drapeau tricolore de trois bandes horizontales. Combien de drapeaux différents pourra-t-on fabriquer ?
Conseils
Identifiez la taille des k-uplets, c’est-à-dire k, et l’ensemble des éléments pouvant former ces k-uplets.
Solution
Pour fabriquer un drapeau tricolore il faut choisir trois couleurs différentes parmi les 10 couleurs et colorier les bandes du drapeau, par exemple de haut en bas, à l’aide de ces trois couleurs.
2 Calculer à l’aide de combinaisons
a. On désire former une équipe de 15 élèves dans une classe qui en comporte 20. Combien d’équipes différentes pourrait-on former ?
b. Calculer et . En déduire .
Conseils
On rappelle que k est le nombre de choix de k objets parmi n.
Solution
a. Il y a 2015 manières de choisir 15 élèves cartes parmi 20.
Or, 2015=205 par symétrie et .
b. On a et, par symétrie,
.
En utilisant la symétrie puis la relation de Pascal :