Arrangements, factorielle et combinaisons

Le nombre de listes de k objets deux à deux distincts pris parmi n, ordonnées ou non, se détermine en fonction de k et de n.

I. Arrangements et factorielle

Définition : Soit k∈ℕ*. On appelle arrangement de k éléments d’un ensemble E comportant n éléments, tout k-uplet d’éléments deux à deux distincts de E.

Théorème : Le nombre d’arrangements de k éléments d’un ensemble à n éléments est n(n−1)(n−2)…(n−k+1).

Définition : La factorielle d’un entier naturel non nul n est le produit des entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à n ; elle est notée n!.

On convient de plus que 0!=1.

Remarque : Un arrangement des n éléments d’un ensemble E à n éléments est appelé une permutation des éléments de E. Il y a n! permutations de E.

À noter

Pour tout entier naturel n : n+1!=(n+1)×n!

II. Combinaisons

Définition : Soit k∈ℕ*. On appelle combinaison de k éléments d’un ensemble E comportant n éléments, toute partie de E possédant k éléments.

Théorème : Soit n∈ℕ et k entier, 0≤k≤n. Le nombre de combinaisons de k éléments d’un ensemble à n éléments est :

$\dfrac{n(n-1)(n-2)~\text{...}~(n-k+1)}{k!}$ ou encore $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ce nombre est noté $\binom{n}{k}$ qu’on lit « k parmi n ».

Valeurs particulières et propriétés

Pour tous entiers naturels n et k, 0≤k≤n :

\binom{n}{0}=1~;~\binom{n}{1}=n~;~\binom{n}{2}=\dfrac{n(n−1)}{2}~\text{et}  \binom{n}{k}=\binom{n}{n−k}.

Cette relation permet de construire le triangle de Pascal qui donne la valeur des $\binom{n}{k}$ pour des petites valeurs de n :

Conseils

Identifiez la taille des k-uplets, c’est-à-dire k, et l’ensemble des éléments pouvant former ces k-uplets.

Conseils

On rappelle que  $\binom{n}{ }$ k  est le nombre de choix de k objets parmi n.