Dans le plan, un vecteur normal à une droite, comme un vecteur directeur, caractérise la direction de cette droite. Dans l’espace, on parle de vecteur normal à un plan.
Dans tout le chapitre, le plan est supposé muni d’un repère orthonormé ℛ.
I. Rappels : équations cartésiennes et vecteurs directeurs
Soit 𝒟 une droite du plan. Alors il existe a, b et c réels (a et b non tous les deux nuls) tels que ax + by + c = 0 soit une équation cartésienne de 𝒟.
Si 𝒟 est la droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0, alors le vecteur u→(–b ;a) est un vecteur directeur de 𝒟.
À noter
Une droite du plan a une infinité de vecteurs directeurs tous colinéaires.
Réciproquement, si 𝒟 est une droite de vecteur directeur u→(–b ;a), alors il existe un réel c tel que ax + by + c = 0 soit une équation cartésienne de 𝒟.
Dans le plan, deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs.
II. Vecteur normal à une droite
1) Définition et propriétés
À noter
Une droite𝒟 a une infinité de vecteurs normaux tous colinéaires.
Soit 𝒟 une droite du plan. On appelle vecteur normal à 𝒟 tout vecteur directeur d’une droite perpendiculaire à 𝒟.
Dans le plan, deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont les mêmes vecteurs normaux.
Dans le plan, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
2) Produit scalaire et équation cartésienne
Soit 𝒟 une droite du plan, u→ un vecteur directeur de 𝒟, n→ un vecteur normal à 𝒟. Alors u→ et n→ sont orthogonaux : u→⋅n→=0.
Si A est un point du plan et n→ un vecteur non nul, alors l’ensemble des points M tels que AM→⋅n→=0 est la droite passant par A et de vecteur normal n→.
Si 𝒟 est la droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0, alors le vecteur n→(a ;b) est un vecteur normal à 𝒟.
Réciproquement, si 𝒟 est une droite de vecteur normal n→(a ;b), alors il existe un réel c tel que ax + by + c = 0 soit une équation cartésienne de 𝒟.
Méthode
Déterminer une équation cartésienne d’une droite dont on connaît un point et un vecteur normal
a. Déterminer une équation cartésienne de la droite Δ1 passant par le point A(2 ; 3) et de vecteur normal n→(–1 ;3).
b. Déterminer une équation cartésienne de la droite Δ2 perpendiculaire à la droite Δ1 et passant par B(–2 ; 1).
c. On donne les points E(3 ; –2) et F(–1 ; –4). Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice Δ3 du segment [EF].
Conseils
a. Δ1 a une équation cartésienne de la forme –x + 3y + c = 0 ; on cherche c de façon que les coordonnées du point A vérifient l’équation.
b. Le vecteur n→(–1 ;3) normal à Δ1 est un vecteur directeur de Δ2, donc Δ2 a une équation cartésienne de la forme 3x + y + c′ = 0.
c. Δ3 a pour vecteur normal le vecteur EF→ et passe par le milieu du segment [EF].
Solution
À noter
On peut aussi traduire qu’un point M(x ; y) appartient à Δ1 si et seulement si AM→⋅n=0.
a. Puisque le vecteur n→(–1 ;3) est normal à la droite Δ1, alors Δ1 a une équation cartésienne de la forme – x + 3y + c = 0.
Δ1 passe par le point A, donc les coordonnées de A vérifient cette équation, donc –2 + 3 × 3 + c = 0, soit c = –7.
Δ1 a donc pour équation cartésienne – x + 3y – 7 = 0.
b. Le vecteur de coordonnées (–1 ; 3) est un vecteur directeur de Δ2, donc Δ2 a une équation cartésienne de la forme 3x + y + c′ = 0.
Les coordonnées de B vérifient cette équation, donc –6 + 1 + c′ = 0, soit c′ = 5. Δ2 a donc pour équation cartésienne 3x + y + 5 = 0.
c. La droite Δ3 a pour vecteur normal EF→(–4 ;–2), donc elle a une équation cartésienne de la forme –4x – 2y + c″ = 0.
La droite Δ3 passe par le point I(1 ; –3), milieu du segment [EF], donc les coordonnées de I vérifient l’équation : –4 + 6 + c″ = 0, d’où c″ = –2.
Δ3 a donc pour équation cartésienne –4x – 2y – 2 = 0.
À noter
Cette équation est équivalente à 2x + y + 1 = 0.