Un cercle est généralement défini comme l’ensemble des points situés à une distance donnée (le rayon) d’un point donné (le centre). Mais un cercle peut également être défini par l’un de ses diamètres.
I. Cercle défini par son centre et son rayon
Le point M(x ; y) appartient au cercle 𝒞 de centre Ω(x0 ; y0) et de rayon r (r un réel strictement positif donné) si et seulement si :
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2
À noter
Une équation du cercle𝒞 est une condition nécessaire et suffisante portant sur (x ; y) pour que le point M(x ; y) appartienne au cercle𝒞.
L’égalité (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 est une équation du cercle 𝒞.
Cette équation traduit le fait que le point M appartient au cercle 𝒞 si et seulement si ΩM = r, c’est-à-dire si et seulement si ΩM2 = r2.
II. Cercle défini par un diamètre
À noter
La démonstration de ce résultat a été vue dans l’exercice 6 de la partie « Calcul vectoriel et produit scalaire ».
Soit A et B deux points distincts. Un point M du plan appartient au cercle 𝒞 de diamètre [AB] si et seulement si :
MA→⋅MB→=0
Si on note (xA ; yA), (xB ; yB) et (x ; y) les coordonnées des points A, B et M, alors MA→⋅MB→=0 équivaut à une équation de la forme x2 + y2 + ax + by + c = 0 (il en est de même pour l’équation cartésienne d’un cercle défini par son centre et son rayon).
Mais la réciproque est fausse : une équation de la forme x2 + y2 + ax + by + c = 0 n’est pas forcément celle d’un cercle du plan.
Remarques :
• MA→⋅MB→=0 équivaut à M = A ou M = B ou « le triangle AMB est rectangle en M ».
• Un cercle 𝒞 peut également être défini par trois points A, B et C non alignés. 𝒞 est alors le cercle circonscrit au triangle ABC, son centre est le point de concours des médiatrices des côtés du triangle ABC.
Méthode
Déterminer si une équation donnée est celle d’un cercle, et donner le centre et le rayon éventuels de ce cercle
Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble des points M(x ; y) vérifiant l’équation donnée. Si cet ensemble est un cercle, donner les coordonnées de son centre et son rayon.a. x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0
b. x2 + y2 – 4x + 2y + 6 = 0
c. x2 + y2 + 6x – 2y + 10 = 0
Conseils
Écrire chaque équation sous la forme (x – x0)2 + (y – y0)2 = k. La méthode est la même que celle utilisée pour mettre un polynôme de degré 2 sous forme canonique. Conclure ensuite suivant le signe de k.
On obtient, suivant les cas, un cercle, un ensemble réduit à un point ou l’ensemble vide.
Voir aussi l’algorithme de l’exercice 12.
Solution
a. x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 équivaut à x2 – 2x + y2 – 6y + 6 = 0, soit (x – 1)2 – 1 + (y – 3)2 – 9 + 6 = 0, c’est-à-dire :
(x – 1)2 + (y – 3)2 = 4.
L’équation donnée est celle du cercle de centre Ω(1 ; 3) et de rayon 2.
b. x2 + y2 – 4x + 2y + 6 = 0 équivaut à x2 – 4x + y2 + 2y + 6 = 0, soit (x – 2)2 – 4 + (y + 1)2 – 1 + 6 = 0, c’est-à-dire :
(x – 2)2 + (y + 1)2 = –1.
Il n’existe aucun couple (x ; y) de réels vérifiant x2 + y2 – 4x + 2y + 6 = 0. L’ensemble des points M(x ; y) vérifiant cette équation est l’ensemble vide.
c. x2 + y2 + 6x – 2y + 10 = 0 équivaut à x2 + 6x + y2 – 2y + 10 = 0, soit (x + 3)2 – 9 + (y – 1)2 – 1 + 10 = 0, c’est-à-dire :
(x + 3)2 + (y – 1)2 = 0.
Cette équation équivaut à x + 3 = 0 et y – 1 = 0.
Le seul couple de réels vérifiant cette équation est (–3 ; 1). L’ensemble des point du plan dont les coordonnées vérifient l’équation est réduit au point de coordonnées (–3 ; 1).
À noter
On peut envisager cet ensemble comme un « cercle dégénéré », de rayon nul, réduit à son centre.