Valider ou réfuter une conjecture

Légende de la leçon

Vert : définitions.

I. Rappels de cours

Conjecturer, puis vérifier la conjecture

 Une conjecture est une supposition, une hypothèse que l’on pressent être vraie.

Attention
Une conjecture vérifiée par un exemple n’est pas nécessairement vraie en général. En revanche, un contre-exemple suffit pour réfuter une conjecture.

 
Valider une conjecture signifie démontrer qu’elle est exacte.

 Réfuter une conjecture signifie démontrer qu’elle est fausse.

II. Méthodes

1) Émettre puis démontrer une conjecture

Voici un programme de calcul.

• Prendre un nombre.

• Lui ajouter $0,5$.

• Élever au carré le dernier résultat.

• Ajouter $-0,25$.

• Enlever le carré du nombre de départ.

a. Appliquer ce programme de calcul aux nombres $3$, $-2$, $\dfrac{5}{2}$.

b. Que remarquez-vous ? Que pouvez-vous alors conjecturer ?

c. Démontrer cette conjecture.

Solution

a. Avec $3$ comme nombre de départ, on obtient les différents résultats suivants :

$3$ → $3,5$ → $12,25$ → $12$ → $3$.

Avec $-2$ au départ, on obtient : $-2$ → $-1,5$ → $2,25$ → $2$ → $-2$.

Avec $\dfrac{5}{2}$ au départ, on obtient : $\dfrac{5}{2}$ → $3$ → $9$ → $8,75$ → $2,5$ (ou $\dfrac{5}{2}$).

b. Pour les trois nombres choisis, nous remarquons que le résultat obtenu est égal au nombre de départ.

Nous pouvons alors conjecturer que ce programme donne pour résultat final le nombre de départ, quel que soit ce nombre.

c. On choisit $x$ comme nombre de départ.

On lui ajoute $0,5$ : on obtient $x+0,5$.

On élève au carré : on trouve $(x+0,5)^2$,

c’est-à-dire $x^2+x+0,25$

en appliquant l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

On ajoute $-0,25$ : on obtient $x^2+x$.

On enlève le carré du nombre de départ, c’est-à-dire $x^2$ : donc on obtient $x$.

La conjecture est ainsi démontrée.

2) Émettre puis réfuter une conjecture

Arthur prend la liste des $100$ premiers nombres premiers et calcule les différences entre deux nombres premiers consécutifs.

Il trouve : $1 - 2 - 2 - 4 - 2 - 4$ et s’arrête à $19 - 17 = 2$.

Il dit alors : « J’ai compris ! J’émets la conjecture suivante : la différence entre deux nombres premiers consécutifs est toujours inférieure ou égale à $4$. »

En utilisant un contre-exemple, peut-on réfuter cette conjecture ?

Solution

Si l’on considère la liste des $100$ premiers nombres premiers, on remarque que $23$ et $29$ sont deux nombres premiers consécutifs dont la différence est égale à $6$. La conjecture est ainsi réfutée.

3) Émettre puis démontrer une conjecture en géométrie

a. Soit un triangle $ABC$ tel que $AB = 6,3~cm$, $AC = 8,4~cm$ et $BC = 10,5~cm$.

Au brouillon, faire une figure à l’échelle.

Émettre une conjecture sur la nature du triangle $ABC$.

b. Démontrer ou réfuter cette conjecture.

Solution

a. Nous pouvons émettre la conjecture : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

b.

$AB^2=6,3^2=39,69$ ;

$AC^2=8,4^2=70,56$ ;

$BC^2=10,5^2=110,25$ ;

et $AB^2+AC^2=BC^2$.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore , le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. La conjecture émise est ainsi démontrée.