Une identité remarquable

I. Rappels de cours

Une identité remarquable

Quels que soient les nombres réels a et b, nous avons :

• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$  

Remarque 1

Il ne faut pas oublier qu'une égalité se lit dans les deux sens. Cette identité remarquable peut donc se lire également :

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Remarque 2

Quand je transforme une somme ou une différence en un produit, je dis que je factorise.

Quand je transforme un produit en une somme ou une différence, je dis que je développe.

II. Méthodes

1) Reconnaître cette identité remarquable : puis-je l'utiliser ? 

Puis-je utiliser cette identité remarquable dans les exemples suivants ? 

a. $(5x-3)(5x+3)=\dots$

b.  $9y^2-64=\dots$

c. $9t^2+25=\dots$

d. $(x+3)(x+3)=\dots$

e. $4z^2-5=\dots$

Conseils

Ecris ce que vaudraient $a$ et $b$  et repère bien si les signes utilisés sont corrects pour pouvoir appliquer ton identité remarquable.

Solution

a. $(5x-3)(5x+3)=\dots$

Je pose $a=5x$ et $b=3$. La forme proposée est du type $(a-b)(a+b)$ qui est égal à $(a+b)(a-b)$.

Conclusion : $(5x-3)(5x+3)=(5x)^2-(3)^2=25x^2-9$.

b.  $9y^2-64=\dots$ ressemble à $a^2-b^2$ en posant par exemple $a=3y$ et $b=8$.

Conclusion : $9y^2-64=(3y+8)(3y-8)$.

c. $9t^2+25=\dots$

J'ai une somme entre les deux termes. 

Conclusion : je ne peux pas factoriser cette expression avec cette identité remarquable.

d. $(x+3)(x+3)=\dots$

Dans les deux parenthèses, j'ai le même signe. 

Conclusion : Je ne peux pas utiliser cette identité remarquable. Je devrai utiliser la double distributivité.

e. $4z^2-5=\dots$

Je pose $a=2z$ et $b=\sqrt 5$. 

Conclusion : $4z^2-5=(2z+\sqrt 5)(2z-\sqrt 5)$.

2) Utiliser cette identité remarquable pour calculer mentalement

Calculer $A$ sans utiliser de calculatrice.

A=101×99   

Conseils

• Pour $A$, remarque que $101=100+1$ et $99=100-1$.

Utilise alors ton identité remarquable.

Solution

• Nous avons $A=(100+1) \times (100-1)$.

Nous savons que $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Alors $A=1~00^2-1^2$ ou encore $A=10~000-1=9~999$.

À noter

Tu peux vérifier ce résultat avec ta calculatrice.

3) Utiliser cette identité remarquable pour résoudre des équations

Soit à résoudre l'équation d'inconnue $x$ : $2x^2=50$. (1)

Je peux diviser les deux membres par $2$, j'obtiens $x^2=25$.

Je retranche $25$ aux deux membres, cela donne : $x^2-25=0$.

J'utilise alors mon identité remarquable, cela donne : $(x+5)(x-5)=0$.

Je sais qu'un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul. Cette équation est donc équivalente à écrire : 

$x+5=0$ ou $x-5=0$ soit

$x=-5$ ou $x=+5$.

Il est facile de vérifier en reportant ces valeurs dans l'équation proposée (1) que ces deux solutions conviennent.

Conclusion : l'équation proposée admet deux solutions qui sont $-5$ et $+5$.