Légende de la leçon
Vert : définitions
I. Rappels de cours
1) Division euclidienne
Lorsque l’on divise un entier naturel a par un entier naturel b, on trouve un entier naturel q et il reste un entier naturel r.
On a alors la relation a=b×q+r.
a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r le reste.
Exemple : Si on divise 69 par 19, on trouve le quotient 3 et il reste 12. On a 69=19×3+12.
À savoir
Un entier est divisible par un autre entier si le reste est nul dans la division euclidienne de ces deux nombres.
2) Nombres premiers
Un nombre premier est un entier naturel divisible seulement par lui-même et par 1.
Exemples :
- 31 est un nombre premier car il est divisible seulement par 31 et 1.
- 35 n’est pas un nombre premier car il est divisible, entre autres, par 5.
Il existe 25 nombres premiers inférieurs à 100. Ce sont les nombres : 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 et 97.
Décomposer un nombre n en un produit de facteurs premiers, c’est écrire ce nombre en un produit de nombres premiers.
Exemples :
La décomposition en produit de facteurs premiers de n=42 est : n=2×3×7. Pour n=3 300, on a : n=22×3×52×11.
II. Méthodes
1) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers
Décomposer le nombre 84 en un produit de facteurs premiers.
Conseils
Essaie de diviser le nombre donné par les nombres premiers successifs en commençant par le plus petit (c’est-à-dire 2). Arrête-toi quand le quotient vaut 1 !
Solution
Nous obtenons donc 84=2×2×3×7 ou encore 84=22×3×7.
2) Simplifier une fraction
Rendre la fraction F=168140 irréductible.
Conseils
Commence par décomposer le numérateur et le dénominateur de la fraction en produits de facteurs premiers.
Solution
168=2×2×2×3×7=23×3×7 et 140=2×2×5×7=22×5×7.
Alors : F=2×2×2×3×72×2×5×7, soit après simplification F=2×35 ou encore F=65.
3) Trouver des nombres premiers jumeaux
a. Deux nombres entiers naturels successifs peuvent-ils être premiers ? Pourquoi ?
b. Deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers dont la différence vaut 2. Citer 3 paires de nombres premiers jumeaux.
Solution
a. 2 et 3 sont deux nombres entiers consécutifs qui sont premiers. Cependant, lorsqu’on considère deux entiers naturels consécutifs et supérieurs à 3, l’un d’eux est nécessairement pair, donc divisible par 2. Alors ce nombre ne peut pas être premier. Donc, à part 2 et 3, il n’est pas possible que deux nombres consécutifs soient tous les deux premiers.
b. Il existe beaucoup de paires de nombres premiers jumeaux, par exemple (3 5), (11 13) et (29 31).