La limite d’une suite géométrique dépend de sa raison.
La fonction exponentielle et les suites géométriques se comportent de manière analogue en l’infini.
I. Limites des suites géométriques
Définitions :
Une suite divergente est une suite qui admet une limite infinie ou qui n’admet pas de limite.
Une suite convergente est une suite qui admet une limite finie.
Théorème : Soient q un réel différent de 1 et u la suite de terme général qn.
Si q>1, alors limn→+ ∞qn=+ ∞ (u diverge vers + ∞) ;
À noter
Si q=1, alors la suite de terme général qn est constante de limite 1.
Si q=− 1, alors la suite de terme général qn est bornée et vaut alternativement −1 et 1.
Si q<− 1, alors la suite de terme général qn n’est pas bornée est prend alternativement des valeurs positives et négatives de valeurs absolues de plus en plus grandes.
II. Limite de la fonction exponentielle
Limite en + ∞
On a : limx→+ ∞ex=+ ∞
On rappelle que e≈2,718 donc e>1. Ainsi la suite géométrique (en), n∈ℕ, a pour limite +∞ : limn→+ ∞en=+ ∞.
Limite en − ∞
On a : limx→− ∞ex=0
On a, pour tout n∈ℕ, e−n=1en. Puisque − 1<1e<1, alors la suite géométrique (e−n) a pour limite 0. En effet, limn→+ ∞1en=0, soit limn→+ ∞e−n=0.
Méthodes
1) Étudier la limite de suites géométriques
a. Étudier la limite des suites de termes généraux :
b. Étudier la limite de la suite de terme général xn=1−3n2n.
Conseils
a. Comparez la raison de chaque suite géométrique aux réels −1 et 1 et appliquez le théorème.
Solution
a. L’arrondi au dixième de 5−5 est − 2,8, donc 5−5<− 1. La suite u diverge sans admettre de limite.
On a 0<π4<1, donc limn→+ ∞vn=0.
On a 3>1, donc limn→+ ∞3n=+ ∞ d’où limn→+ ∞wn=− ∞.
b. Pour tout n∈ℕ, xn=12n−32n.
Par différence, on obtient limn→+ ∞xn=− ∞.
2) Utiliser les limites de la fonction exponentielle
Déterminer la limite en + ∞ et en − ∞ des fonctions définies sur ℝ par fx=ex+e−x et gx=x+e2x.
Conseils
Les théorèmes d’opérations sur les limites sont analogues à ceux relatifs aux limites de suites (voir le chapitre 7).
Solution
On étudie dans chaque cas la limite d’une somme.
On a limx→+ ∞ex=+ ∞ et limx→+ ∞e−x=0. D’où limx→+ ∞fx=+ ∞.
On a limx→+ ∞ex=+ ∞ donc limx→+ ∞e2x=+ ∞. D’où limx→+ ∞gx=+ ∞.