De nombreuses expériences aléatoires consistent en une répétition d’épreuves à deux issues, identiques et indépendantes. Dans ce cas, on peut modéliser la succession d’épreuves par un schéma de Bernoulli.
I. Épreuve et variable aléatoire de Bernoulli
Définition : Une épreuve de Bernoulli est une épreuve à deux issues :
vrai/faux, pile/face, blanc/noir, etc.
On convient d’appeler « succès » et « échec » les deux résultats possibles de cette épreuve. La probabilité d’un succès est généralement notée p et la probabilité d’un échec est notée q=1−p.
Exemples d’épreuves de Bernoulli :
On prélève une boule dans une urne contenant exclusivement des boules blanches (en proportion p) et des boules noires (en proportion q).
On jette un dé cubique ordinaire et on appelle « succès » l’événement « on a obtenu 1 ». Alors p=16 et q=56.
Définition : Une variable aléatoire de Bernoulli est une variable aléatoire caractérisée par (p étant un nombre de 0 ; 1) :
XΩ=0 ; 1 (X ne prend que deux valeurs) ;
PX=1=p et donc PX=0=1−p=q.
II. Schéma de Bernoulli
Définition : Un schéma de Bernoulli est la répétition de la même épreuve de Bernoulli un certain nombre de fois (noté n), chaque fois étant indépendante des autres.
On peut schématiser la succession d’épreuves par un arbre de probabilités, d’où le terme de « schéma ».
Un schéma de Bernoulli est donc caractérisé par deux conditions :
un nombre fixé de répétitions (noté n) de la même épreuve de Bernoulli ;
les n répétitions sont indépendantes les unes des autres.
Méthodes
1) Reconnaître un schéma de Bernoulli
Dans les situations suivantes, dire s’il est possible d’utiliser un schéma de Bernoulli pour les modéliser.
a. Le nombre de jets d’un dé cubique nécessaires pour obtenir un 6 pour la première fois.
b. Le nombre de filles dans une famille de quatre enfants.
c. Le nombre de boules blanches obtenues lors du tirage de trois boules dans une urne comportant quatre boules blanches et six boules noires.
Conseils
a. et b. Vérifiez si chaque situation répond aux conditions caractéristiques d’un schéma de Bernoulli décrites à la fin de la fiche.
c. Discutez selon la nature des tirages : avec ou sans remise.
Solution
a. Il n’est pas possible d’utiliser un schéma de Bernoulli car le nombre de répétitions de l’épreuve (lancer d’un dé) n’est pas fixé.
b. Si on suppose que dans une fratrie les sexes des enfants sont indépendants les uns des autres, on peut utiliser un schéma de Bernoulli pour connaître le nombre de filles. L’épreuve de Bernoulli de base est l’identification du sexe de l’enfant : F ou G. On la répète 4 fois.
c. Si on effectue les tirages avec remise, on peut modéliser la situation par un schéma de Bernoulli, l’épreuve de base étant l’identification de la couleur : B ou N.
Si on effectue les tirages sans remise on ne peut pas utiliser un schéma de Bernoulli car dans ce cas les tirages ne sont pas indépendants, l’issue d’un tirage dépend de la composition de l’urne, variable d’un tirage à l’autre.
2) Représenter un schéma de Bernoulli par une suite
On lance une pièce de monnaie 5 fois, les lancers étant indépendants.
En utilisant les lettres P et F décrire par une suite tous les lancers où F apparaît au plus deux fois, cette apparition ayant lieu à un lancer impair.
Conseils
« Au plus deux fois » signifie « 0 fois ou une fois ou deux fois ».
Solution
Lancers comportant 0 fois F : PPPPP. Lancers comportant une seule fois F aux rangs impairs : FPPPP, PPFPP et PPPPF. Lancers comportant exactement deux fois F aux rangs impairs : FPFPP, FPPPF et PPFPF.