Propriétés simples des opérations

🎯 Objectif

Comprendre et utiliser les propriétés des opérations pour effectuer des calculs plus rapidement et plus facilement, tout en découvrant leur utilité dans la vie quotidienne.

🏪 Pourquoi ces propriétés sont utiles dans la vie courante ?

Imaginons que tu sois au supermarché avec $10~€$ pour acheter des goûters. Tu veux acheter :

• Un paquet de biscuits à $3~€$

• Une barre chocolatée à $2~€$

• Un jus de fruit à $5~€$

Pour savoir combien tu vas dépenser sans utiliser un papier ou une calculatrice, tu peux réorganiser ton addition pour rendre le calcul plus facile grâce à la commutativité.

Regarde : $3 + 5 + 2$.

Si tu fais $3 + 5 = 8$, puis $8 + 2 = 10$, c’est plus rapide que de faire $3 + 2 + 5$ !

Grâce à cette astuce, tu sais tout de suite que tu dépenseras $10~€$, donc ton budget est parfaitement utilisé.

Voyons maintenant comment ces propriétés peuvent t’aider à mieux calculer dans d’autres situations !

➕ ➖ Les propriétés de l'addition et de la soustraction

La commutativité de l'addition

• L’ordre des nombres dans une addition ne change pas le résultat.

• Exemple : $4 + 7 = 7 + 4$ → $11$ dans les deux cas.

L’associativité de l'addition

• On peut regrouper les nombres comme on veut sans modifier le résultat.

• Exemple : $(3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7)$ → $15$ dans les deux cas.

La soustraction n’est pas commutative

• Contrairement à l’addition, changer l’ordre des nombres dans une soustraction donne un résultat différent.

• Exemple : $8 - 5 ≠ 5 - 8$, car $8 - 5 = 3$, mais $5 - 8 = -3$.

✖️ ➗ Les propriétés de la multiplication et de la division

La commutativité de la multiplication

• L’ordre des nombres ne change pas le produit.

• Exemple : $6 \times 4 = 4 \times 6$ → $24$ dans les deux cas.

L’associativité de la multiplication

• On peut regrouper les nombres comme on veut sans changer le résultat.

• Exemple : $(2 \times 3) \times 5 = 2 \times (3 \times 5)$ → $30$ dans les deux cas.

La multiplication est distributive par rapport à l’addition

• On peut multiplier un nombre par une somme en distribuant la multiplication.

• Exemple : $7 \times (10 + 3)$

• Décompose en $7 \times 10$ et $7 \times 3$.

• $70 + 21 = 91$.

La division n’est pas commutative ni associative

• L’ordre est très important dans une division !

• Exemple : $20 \div 5 ≠ 5 \div 20$

🏃 Entraînons-nous !

⚡ Applique la commutativité :

Tu veux additionner $7 + 29 + 13$. Change l’ordre pour calculer plus facilement.

✅ Réponse : $(7 + 13) + 29 = 20 + 29 = 49$.

⚡ Utilise l’associativité :

Calcule $5 \times 9 \times 2$ en choisissant les bons regroupements.

✅ Réponse : $(5 \times 2) \times 9 = 10 \times 9 = 90$.

⚡ Applique la distributivité :

Un jouet coûte $6~€$ et tu en veux $47$. Calcule $6 \times 47$ en utilisant une astuce.

✅ Réponse : $6 \times (40 + 7) = (6 \times 40) + (6 \times 7) = 240 + 42 = 282~€$.

💡 Résumé

• Les propriétés des opérations permettent de réorganiser les calculs pour les rendre plus simples et rapides.

• L’addition et la multiplication sont commutatives et associatives, ce qui permet de regrouper les nombres et choisir le meilleur ordre de calcul.

• La soustraction et la division ne sont pas commutatives ni associatives, donc il faut respecter l’ordre des nombres.

• La multiplication est distributive sur l’addition, ce qui permet de décomposer les calculs difficiles en parties plus simples.

En utilisant ces astuces, tu peux gagner du temps et éviter les erreurs dans tes calculs ! 🚀