Propriétés analytiques et applications

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L’étude de fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle est essentielle, notamment lors de la modélisation de phénomènes où des grandeurs varient proportionnellement à leurs valeurs.

I. Propriétés

Pour tout réel xx, on a ex\text e^x > 00.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Pour tout réel xx, ex\text e^x > 11 si et seulement si xx > 0.

À noter

En particulier ex=1x=0\text e^x=1\Leftrightarrow x=0.

Pour tout réel a et tout réel b :

ea=eb\text e^a = \text e^b si et seulement si aa = bb

ea\text e^a < eb\text e^b si et seulement si aa < bb

II. Tableau de variations et courbe représentative

Tableau de variation de la fonction exponentielle :

PB_Bac_05285_Math1_TT_p121-146_C05_Groupe_Schema_0

Dans le plan muni d’un repère, la courbe représentative de la fonction exponentielle admet en son point d’abscisse 0 une tangente d’équation yx + 1.

05285_chap05_fiche16i01

III. Fonctions associées

À noter

Le calcul de cette dérivée fait appel à la dérivée des fonctions du type x ↦ g(ax + b)  .

Soit k un réel strictement positif.

La fonction u  :  xekxu\;:\; x\mapsto\text e^{kx} admet pour fonction dérivée xkekxx\mapsto k\text e^{kx}. La fonction u est strictement croissante sur ℝ.

La fonction v  :  xekxv\;:\; x\mapsto\text e^{-kx} admet pour fonction ­dérivée xkekxx\mapsto -k\text e^{-kx}. La fonction v est strictement ­décroissante sur ℝ.

Méthode

1)  Résoudre des équations et des inéquations

Déterminer les solutions dans R de l’équation e2x=ex\text e^{2x}=\text e^x

Déterminer les solutions dans R de l'inéquation xex  >  xx\text e^x\;\gt\;x.

Conseil

Pour résoudre ce type d’équation, on montre qu’elle est équivalente à une équation de la forme A × B = 0. De même, pour une inéquation, on montre qu’elle est équivalente à une inéquation de la forme A × B > 0.

Solution

Résolvons l'équation proposée.

e2x=exe2xex=0\text e^{2x}=\text e^x\Leftrightarrow \text e^{2x}-\text e^x=0

 ex(ex1)=0\text e^{x}(\text e^x-1)=0

ex=0 ou ex=1\Leftrightarrow \text e^x=0 \text{ ou } \text e^x=1

x=0\Leftrightarrow x=0.

Cette équation admet 0 pour unique solution.

Remarque : Pour tout x ∈ ℝ, \text e^x>0 donc l’équation ex=0\text e^x=0 n’admet pas de ­solution réelle.

 

Résolvons l'inéquation proposée : x\text e^x\;\gt\;x\Leftrightarrow x\text e^x-x>0~\Leftrightarrow x(\text e^x-1)>0.

On peut faire un tableau de signe ou remarquer que, pour tout x ∈ ℝ, \text e^x>1\Leftrightarrow x>0.

Les facteurs xx et ex1\text e^x-1 sont de même signe, le produit est donc strictement positif sur ]–∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ et nul pour x = 0. Cette inéquation admet pour solutions tous les réels non nuls.

2)  Étudier les variations d’une fonction

On considère la fonction définie sur ℝ par f(x)=xexf(x)=x\text e^{-x}.

a. Déterminer la fonction dérivée de f.

b. En déduire les variations de la fonction f sur ℝ.

Conseil

Pour dériver f, on utilise la formule de la dérivée d’un produit de fonctions.

Pour les variations, on étudie le signe de f ′(x) après l’avoir factorisé.

a. Pour tout réel x, f(x)=1×ex+x×(ex)f'(x)=1\times\text e^{-x}+x\times (-\text e^{-x}) donc f(x)=(1x)exf'(x)=(1- x)\text e^{-x}.

b. Pour tout réel x, \text e^{-x}>0 donc f ′(x) est du signe de 1 – x. La fonction f est donc strictement croissante sur ]–∞ ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; +∞[.

Vérifiez que vous avez bien compris les points clés des fiches 15 et 16.