Définitions et propriétés algébriques

La fonction exponentielle a pour particularité d’être égale à sa fonction dérivée, c’est cette propriété unique qui permet de la définir.

I. Définition et notations

La fonction exponentielle est l’unique fonction f définie et dérivable sur ℝ telle que f ′ = f et f(0) = 1. On la note exp.

À noter

La fonction exponentielle n’est pas la seule à être égale à sa fonction dérivée, mais c’est la seule qui vaut 1 en 0.

On a ainsi :

{exp(0)=1pour tout réel x,exp′(x)=exp(x)

On pose exp(1) = e ; une valeur approchée de e est 2,7182818284591 et pour tout réel x, on note :

$exp(x)=e^x$

En particulier : $\text e^0=1$ ; $\text e^1=\text e$ et $\text e^{-1}=\dfrac{1}{\text e}$.

II. Propriétés algébriques

Pour tout réel x, exp(x) ≠ 0 et $\text{exp}(-x)=\dfrac{1}{\text{exp(x)}}$.

Pour tout réel a et tout réel b :

exp(a + b) = exp(a) × exp(b)

exp(a–b)=exp(a)exp(b)

Pour tout réel a et pour tout entier relatif n :

$exp(na)=(exp(a))^n$

À noter

Ces propriétés opératoires sont les mêmes que celles des puissances.

III. Suites géométriques et fonction exponentielle

Soit a un réel. La suite de terme général $u_n=(\text e^n)^a$ est une suite géométrique. Son premier terme est 1 et sa raison est $q=e^a$.

À noter

On a en effet e⁰ = 1 et $\text e^{na}=(\text e^a)^n$.

Méthode

1)  Simplifier ou transformer une expression

Conseil

Pour simplifier A, on utilise les règles sur le produit et le quotient. Pour f, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par $\text e^x$ qui est un réel strictement positif.

 

On pose $A=\dfrac{\text e^{-2}\times\text e^3}{e}$. Montrer que A est un entier.

Pour tout réel x, on pose $f(x)=\dfrac{\text e^x-\text e^{-x}}{\text e^x+\text e^{-x}}$.

Montrer que pour tout réel x, $f(x)=\dfrac{\text e^{2x}-1}{\text e^{2x}+1}$.

Solution

On a $\dfrac{\text e^{-2}\times\text e^3}{\text e}=\text e^{-2+3-1}$. Donc $A=\text e^0$, soit A = 1.

Pour tout réel x, comme $\text e^x\neq0$, on a :

$f(x)=\dfrac{\text e^x-e^{-x}}{\text e^x+\text e^{-x}}\times \dfrac{\text e^x}{\text e^x}=\dfrac{\text e^{x+x}-e^{-x+x}}{\text e^{x+x}+\text e^{-x+x}}=\dfrac{\text e^{2x}-1}{\text e^{2x}+1}$.

Remarque : On peut aussi remarquer que $e^{-x}=\dfrac{1}{\text e^x}$, réduire au même dénominateur les termes du quotient puis simplifier.

2)  Montrer qu’une suite définie par une exponentielle est géométrique

On considère les suites de termes généraux $u_n=\text e^{-n}$, $v_n=\text e^{3n+1}$ et $w_n=\text e^{0,5n^2}$.

Déterminer parmi ces suites celles qui sont géométriques. En donner le cas échéant la raison et le premier terme.

Conseil

Pour montrer qu’une suite est géométrique, on pourra mettre son terme général sous la forme $a\times q^n$. Pour montrer qu’elle ne l’est pas, on pourra comparer les quotients de deux termes consécutifs.

Solution

À noter

On a (e^0,5)² = e¹ = e et e > 0 donc e0,5=e.

On a, pour tout n ∊ ℕ, $u_n=\dfrac{1}{\text e^n}=\left(\dfrac{1}{\text e}\right)^n$, en particulier $u_0=e^0=1$, donc la suite (un) est géométrique de raison $\dfrac1e$ et de premier terme 1.

On a, pour tout n ∊ ℕ, $v_n=\text e\times\text e^{3n}=\text e\times(\text e^{3})^n$ et $v_0=\text e\times\text e^{3\times 0}=\text e$. Donc la suite (vn) est géométrique de raison $\text e^3$ et de premier terme e.

On a $w_0$ = e⁰ = 1 ; $w_1$ = e^0,5 et $w_2$ = e^0,5 × ⁴ = e² ; donc $\dfrac{w_1}{w_0}=\text e^{0,5}$ et $\dfrac{w_2}{w_1}=\text e^{1,5}$. Comme $\dfrac{w_1}{w_0}\neq\dfrac{w_2}{w_1}$, la suite $(w_n)$ n’est donc pas géométrique.