Historiquement, la fonction ln a été inventée pour simplifier les calculs, car elle permet de convertir les multiplications, longues à effectuer et souvent sources d’erreurs, en de simples additions.
I. Propriétés algébriques
Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tout entier n, on a :
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
ln1a=−lna
lnab=lna−lnb
ln(an) = nln(a)
Conséquence : Pour tout réel strictement positif a, on a :
lna=12lna
II. Équations et inéquations
Pour tous réels a et b strictement positifs, on a :
ln(a) = ln(b) ⇔ a = b
ln(a) < ln(b) ⇔ a < b
Exemple : ln(3x) = ln6 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2.
Conséquence : Pour tout réel m et tout réel strictement positif x, on a :
ln(x) = m ⇔ x = em
ln(x) < m ⇔ x < em
En particulier : ln(a) < 0 ⇔ 0 < a < 1.
Exemple : ln(1 + x) = 4 ⇔ 1 + x = e4 ⇔ x = e4 − 1.
Remarque : Si q et a sont des réels strictement positifs et si n est un entier naturel, alors qn > a ⇔ nln(q) > ln(a).
À noter
Cette remarque permet de déterminer un seuil dans l’étude d’une suite géométrique.
Méthodes
1) Simplifier ou transformer une expression
On pose A=ln12−3ln22ln3−ln6 et B = e− ln 2 + ln(e− 2).
Montrer que A est un entier et que B est un rationnel.
Conseils
Pour simplifier A, utilisez la propriété sur le logarithme d’un produit.
Pour simplifier B, utilisez la définition du logarithme.
Solution
A=ln3 × 22−3ln22ln3−ln3 × 2=ln3+2ln2−3ln22ln3−ln3+ln2=ln3−ln2ln3−ln2=1.
B=1eln2+lne−2=12−2=−32. Donc B est rationnel.
2) Résoudre une inéquation
On considère la suite géométrique de terme général un=12n.
Déterminer à partir de quel rang n on a un ≤ 10− 5.
Conseils
Modifiez la condition un ≤ 10-5 en prenant le logarithme népérien de chaque membre, pour faire passer l’inconnue n d’exposant à coefficient.
Solution
Pour tout n ∈ ℕ, un > 0. On peut donc utiliser la croissance de la fonction ln puisque les deux membres de l’inégalité sont positifs. On obtient :
Donc un ≤ 10-5 à partir du rang n = 17.
À noter
Attention aux signes dans les résolutions d’inéquations !